В трапеции ABCD BC и AD параллельны, BC=2, DA=8. Проведена диагональ AC. Оказалось, что угол ABC равен углу ACD. Найдите AC. Пусть площадь треугольника ACD равна m. Выразите площадь трапеции через m.​

Рассмотрим треугольники BCA и CAD. Так как ABCD – трапеция, то ее основания параллельны, т.е. BC||AD. Для прямых BC, AD и секущей AC углы BCA и CAD являются накрест лежащими, а значит равными. BC/CA=CA/AD, 2/4=4/8, сократим дроби и получим 1/2=1/2. По третьему признаку подобия имеем: две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны. Следовательно, треугольники BCA и CAD подобны. А у подобных треугольников площади пропорциональны квадратам сходственных сторон. S BCA/S CAD=1^2/2^2=1/4.

Ответ: диагональ AC делит площадь трапеции в соотношении 1:4