Сколькими способами можно переставить буквы в слове “ЭКОНОМИКА” так, чтобы гласные буквы всегда были рядом?

Где ошибки и что не так?

Ответ:

3600 способами

Решение:

Рассмотрим слово "ЭКОНОМИКА".

Объединим все главные буквы в один условный элемент {ЭООИА}. Будем рассматривать перестановки этого условного элемента с остальными согласными буквами:

{ЭООИА}; К; Н; М; К

Заметим, что среди этих 5 элементов есть 2 повторяющихся (буквы К и К). Поэтому, для нахождения числа перестановок этих элементов используем формулу перестановок с повторениями:

Далее, учтем перестановки внутри нашего условного элемента, то есть среди гласных букв:

Э, О, О, И, А

Заметим, что вновь среди 5 элементов есть 2 повторяющихся (буквы О и О). По аналогии с предыдущим случаем запишем:

Поскольку любой начальной перестановке может соответствовать любая перестановка гласных, то полученные числа перестановок нужно перемножить:

Элементы теории:

Число перестановок из элементов, среди которых есть неразличимый элемент: