Помогите решить диф. уравнение, если задано начальные условия, найти отдельное решение, пример: y"+4y'+5y=5
- 32x+5
Ответы на вопрос
Відповідь:
Покрокове пояснення:
Cоставляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r^2 +4 r + 5 = 0
D=4^2 - 4·1·5=-4
Корни характеристического уравнения:(комплексные корни):
r1 = -2 + i
r2 = -2 - i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y- = C1*e^(-2x)*cos x + C2*e^(-2x)*sin x.
Здесь P(x) = 5•x^2-32•x+5, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида:
y· = Ax^2 + Bx + C
Вычисляем производные:
y' = 2·A·x+B
y'' = 2·A
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + 4y' + 5y = (2·A) + 4(2·A·x+B) + 5(Ax^2 + Bx + C) = 5·x^2-32·x+5
или
5·A·x^2+8·A·x+2·A+5·B·x+4·B+5·C = 5·x^2-32·x+5
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
x^2: 5A = 5
x: 8A + 5B = -32
1: 2A + 4B + 5C = 5
Решая ее, находим:
A = 1;B = -8;C = 7;
Частное решение имеет вид:
y· = x^2 -8x + 7
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = y- +y. = C1*e^(-2x)*cos x + C2*e^(-2x)*sin x +x^2 -8x + 7