Знайти розклад біномів: (x²-2y)⁷. Записати комплексне число А в алгебраїчній формі: A=(3-i√3)⁵. Знайти: середній член розкладу (1/x - √x)¹⁶. Знайти номер члена розкладу А, який: містить x⁴ у А= (√x (біля кореня зверху-3) - 1/√x³ (біля кореня зверху-4))¹². Знайти найбільший член розкладу: (1+√2)⁵⁰. Довести, що: сума (зверху над сумою-n, знизу над сумою-k=0) (2k+1) C (зверху біля С-k, знизу біля С-n)=(n+1)•2^n. Користуючись поліноміальною теоремою, знайти розклади поліномів: (x²+x+1)⁵. Знайти коефіцієнт при x^k у розкладі поліномів: (5x²-x-2)⁷, k=3. Допоможіть, будь ласка!!! Даю 100 балів!!!

Розклад біномів (x²-2y)⁷ можна знайти за допомогою Біноміального теореми. За формулою, кожен член розкладу буде мати вигляд:

C(n, k) * x^(n-k) * (2y)^k,

де C(n, k) - біноміальний коефіцієнт, що розраховується як n! / (k! * (n-k)!), а n - ступінь бінома, у даному випадку 7.

Отже, розклад буде мати наступний вигляд:

(x²)⁷ - 7 * (x²)⁶ * 2y + 21 * (x²)⁵ * (2y)² - 35 * (x²)⁴ * (2y)³ + 35 * (x²)³ * (2y)⁴ - 21 * (x²)² * (2y)⁵ + 7 * (x²) * (2y)⁶ - (2y)⁷.

Щоб записати комплексне число A=(3-i√3)⁵ в алгебраїчній формі, необхідно розкласти його за допомогою формули Біноміального теореми і скористатися властивостями комплексних чисел. Застосовуючи формулу, отримаємо:

A = (3⁵ - 5 * 3⁴ * (i√3) + 10 * 3³ * (i√3)² - 10 * 3² * (i√3)³ + 5 * 3 * (i√3)⁴ - (i√3)⁵).

За спрощенням, отримаємо:

A = 243 - 405i√3 + 270i² * 3 - 90i√3 - 15i² * 81,

де i² = -1. Після обчислень, отримаємо:

A = 243 + 270 * (-1) - 15 * (-1) * 81 - 405i√3 - 90i√3,

A = 243 - 270 - 1215 - 495i√3,

A = -1242 - 495i√3.

Щоб знайти середній член розкладу (1/x - √x)¹⁶, спочатку скористаємося формулою Біноміального теореми. Отримаємо:

C(16, k) * (1/x)^(16-k) * (√x)^k.

Застосовуючи правила спрощення, отримаємо:

C(16, k) * (x^k) * (1/x)^(16-k) * (√x)^k,

C(16, k) * (x^k/x^(16-k)) * (x^(1/2))^k,

C(16, k) * x^((2k-(16-k))/2) * (√x)^k,

C(16, k) * x^(-8+k) * (√x)^k.

Тепер, щоб знайти середній член, потрібно вирахувати значення k, яке дорівнює половині ступеня (16). Тобто, k = 8. Підставимо це значення в формулу:

C(16, 8) * x^(-8+8) * (√x)^8,

C(16, 8) * x^0 * (√x)^8,

C(16, 8) * (√x)^8.

Таким чином, середній член розкладу (1/x - √x)¹⁶ має вигляд C(16, 8) * (√x)^8.

Щоб знайти номер члена розкладу А, який містить x⁴ у А=(√x - 1/√x³)¹², розкладемо А за допомогою формули Біноміального теореми. Застосуємо формулу і врахуємо, що x = (√x)², тоді отримаємо:

A = C(12, k) * (√x)^(12-k) * (-1/√x³)^k.

Для того, щоб містити x⁴ в члені розкладу, нам потрібно мати (^k) = 4, або -1/√x³^k = x⁴. Запишемо це у вигляді рівняння:

(-1/√x³)^k = x⁴.

Конвертуємо кореня до непарних ступенів:

(-1/x^(3/2))^k = x⁴.

(-1)^k / x^(3k/2) = x⁴.

Зауважимо, що (-1)^k = 1 при парних значеннях k та (-1)^k = -1 при непарних значеннях k.

Розглянемо залишок, який дає ділення 3k/2 на 4:

3k/2 ≡ 0 (mod 4) або 3k/2 ≡ 2 (mod 4).

Розглянемо обидва випадки окремо:

1) 3k/2 ≡ 0 (mod 4):

3k ≡ 0 (mod 8),

k ≡ 0 (mod 8).

2) 3k/2 ≡ 2 (mod 4):

3k ≡ 4 (mod 8),

k ≡ 5 (mod 8).

Отже, член з x⁴ буде мати номер 8 та 13 в розкладі А=(√x - 1/√x³)¹².

Щоб знайти найбільший член розкладу (1+√2)⁵⁰, застосуємо формулу Біноміального теореми:

(1+√2)⁵⁰ = C(50, k) * (1)^(50-k) * (√2)^k.

Так як ступінь 50 є парним числом, то всі члени, де (-√2) піднесено до непарних ступенів, будуть зникати в результаті. Залишаться тільки члени з (√2)^k, де k - парне число.

Отже, найбільший член розкладу буде мати максимальне значення для k. В даному випадку, це k = 50. Підставимо це значення в формулу:

C(50, 50) * (1)^(50-50) * (√2)^50,

1 * √2^50,

√2^50.

Таким чином, найбільший член розкладу (1+√2)⁵⁰ має вигляд √2^50.