Математика, вопрос задал denaleksander106 , 3 месяца назад

Здравствуйте. Мне нужно решение этих двух задач.
1. Указать метод интегрирования заданного интеграла ∫(5х+2)е^4x dx Метод непосредственного интегрирования.
Метод подстановки.
Метод подведения под знак дифференциала.
Метод интегрирования по частям. 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
y''- 4y' + 4y = e^x (2x+3) Буду очень благодарен за помощь!

Ответы на вопрос

Ответил Alnadya

Решение .

$\bf \displaystyle 1)\ \ \int (5x+2)\cdot e^{4x}\, dx$

Можно применить метод интегрирования по частям , применив формулу $\bf \displaystyle \int u\, dv=uv-\int v\, du$ .

$\bf \displaystyle \int \underbrace{\bf (5x+2)}_{u}\cdot \underbrace{\bf e^{4x}\, dx}_{dv}=(5x+2)\cdot \frac{1}{4}\, e^{4x}-\int \frac{1}{4}\, e^{4x}\cdot 5\, dx=\\\\\\=(5x+2)\cdot \frac{1}{4}\, e^{4x}-\frac{5}{16}\, e^{4x}+C$

2) ЛНДУ 2 пор. с постоянными коэффициентами .

$\bf y''-4y'+4y=e^{x}\, (2x+3)\\\\a)\ \ y''-4y'+4y=0\ \ \Rightarrow \ \ \lambda ^2-4\lambda +4=0\ \ ,\ \ (\lambda -2)^2=0\ ,\ \lambda=2\\\\y_{o}=e^{2x}\, (C_1+C_2x)\\\\b)\ \ f(x)=(5x+2)\, e^{x}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \widetilde{y}=(Ax+B)\, e^{x}\\\\\widetilde{y}'=A\, e^{x}+(Ax+B)e^{x}\\\\\widetilde{y}''=Ae^{x}+A\, e^{x}+(Ax+B)\, e^{x}\\------------------------------------$

$\bf \widetilde{y}''-4\widetilde{y}'+\widetilde{y}=2A\, e^{x}+(Ax+B)\, e^{x}-4A\, e^{x}-4\, (Ax+B)\, e^{x}+4(Ax+B)\, e^{x}=\\\\=-2A\, e^{x}+(Ax+B)\, e^{x}=(-2A+Ax+B)\, e^{x}=(2x+3)\, e^{x}$

Метод неопределённых коэффициентов .

$\bf -2A+Ax+B=2x+3\\\\A=2\\\\-2A+B=3\ \ \ \to \ \ \ -4+B=3\ \ ,\ \ B=7\\\\\widetilde{y}=(2x+7)\, e^{x}\\\\y=y_{o}+\widetilde{y}=e^{2x}\, (C_1x+C_2)+(2x+7)\, e^{x}$

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Новые вопросы

Алгебра, 2 месяца назад

Розв'яжіть рiвняння: 1) (x-8)(x-11)=0; 2) (4x-16) (3x-27)=0. СРОЧНООО БУДЬ ЛАСКА ...

Физика, 2 месяца назад

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА 6. Воду масою 500 г при температурі 95°С налили в теплоізольований посудину, де знаходився твердий нафталін при температурі 80 °С. Після встановлення теплової рівноваги...

История, 3 месяца назад

яким чином хрестові походи вплинули на культуру життя суспільний і політичний устрій середньовічної Європи Допоможіть будь ласка...

География, 3 месяца назад

Використовуючи прямокутні координати, визначте точку, розташовану до екватора найближче. А)Х=5533 350; Y=6655 347 Б)х-6750445: Y-4375563...

Математика, 6 лет назад

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ДАЮ 40 БАЛЛОВ НУЖНО РЕШИТЬ 1 ЗАДАЧУ С УСЛОВИЯМИ...

Математика, 6 лет назад

При якому значенні a рівняння 9²-12х+а=0 має один корінь?Знайдіть цей корінь.