Записана последовательность чисел: 1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, 38 и т.д. (каждое следующее число
получают из предыдущего, увеличивая его на сумму его цифр). Будет ли записано на доске
число 11111112021

Ответ:

Нет.

Объяснение:

Обратим внимание на то, что сумма цифр написанного числа равна

                               (1+1+1)+(1+1+1)+(1+1)+(2+2)=3+3+6,

то есть делится на 3 (чему конкретно равна эта сумма, нас не волнует), что означает, что и само число делится на 3. В последовательности же нет чисел, делящихся на 3. В самом деле, докажем, что если одно из чисел A этой последовательности не делится на 3, то и следующее  не делится на 3 (а тогда, поскольку первое число не делится на 3, то и все числа не делятся на 3).

Пусть число        

добавляя к A сумму его цифр, получим число

Раз A не делится на 3, то не делится на 3, а тогда

 не делится на 3, а тогда сумма A и его цифр не делится на 3.