Алгебра, вопрос задал Reideen , 2 года назад

Задание приложено...

Приложения:

Ответы на вопрос

Ответил mathkot

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy = \int\limits^{2}_{1} {} \, dx \int\limits^{4}_{0} {f(x,y)} \, dy = \int\limits^{4}_{0} {} \, dy \int\limits^{2}_{1} {f(x,y)} \, dx}}$

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy = \int\limits^{2}_{0} {} \, dx \int\limits^{x}_{0} {f(x,y)} \, dy + \int\limits^{4}_{2} {} \, dx \int\limits^{4 - x}_{0} {f(x,y)} \, dy }}$

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy = \int\limits^{2}_{0} {} \, dy \int\limits^{4 - y}_{y} {f(x,y)} \, dx}}$

$\boxed{\boldsymbol{ \displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy = \int\limits^{3}_{1} {} \, dx \int\limits^{x}_{1} {f(x,y)} \, dy + \int\limits^{5}_{3} {} \, dx \int\limits^{6 - x}_{1} {f(x,y)} \, dy}}$

$\boxed{\boldsymbol{\displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy = \int\limits^{3}_{1} {} \, dy \int\limits^{6 - y}_{y} {f(x,y)} \, dx}}$

Примечание:

Если внутренний интеграл по y, то для расстановки пределов интегрирования в интеграле по y (функции) необходимо "проткнуть графики" по направлению с осью OY. И тот график, который "протыкается" первым пишем в нижний предел интегрирования.

Аналогично расставляю пределы интегрирования во внешнем интеграле мы должны с крайней слева точки пересечения графиков функций мысленно "заливать краской фигуру" по направлению вдоль оси OX. И соответственно в первую прямую, которую мы "встретим" вдоль оси OX ставим в нижний предел интегрирования по dx.

Если внутренний интеграл по x, то для расстановки пределов интегрирования в интеграле по x (функции) необходимо "проткнуть графики" по направлению с осью OX. И тот график, который "протыкается" первым пишем в нижний предел интегрирования.

Аналогично расставляю пределы интегрирования во внешнем интеграле мы должны с крайней слева точки пересечения графиков функций мысленно "заливать краской фигуру" по направлению вдоль оси OY. И соответственно в первую прямую, которую мы "встретим" вдоль оси OY ставим в нижний предел интегрирования по dy.

Объяснение:

Область $D:$

$x = 1$

$x = 2$

$y = 0$

$y = 4$

$\displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy = \int\limits^{2}_{1} {} \, dx \int\limits^{4}_{0} {f(x,y)} \, dy = \int\limits^{4}_{0} {} \, dy \int\limits^{2}_{1} {f(x,y)} \, dx$

Область $D:$

$y = 0$

$x = y$

$x + y = 4 \Longleftrightarrow y = 4 - x \Longleftrightarrow x = 4 - y$

Найдем точку пересечения прямой $y = 4 - x$ и прямой $x = y:$

$4 - x = x$

$2x = 4|:2$

$x = 2$

$y = 4 - x = 4 - 2 = 2$

Точка $(2;2)$ есть пересечения прямой $y = 4 - x$ и прямой $x = y$ .

При рассмотрении внутреннего интеграла по y, область $D$ необходимо разбить на две области $D_{1}$ и $D_{2}$ . Прямая $x = 2$ разбивает область на две области. Поэтому следует разбить интеграл на 2 области и отдельно вычислять по каждой из областей.

Внутренний интеграл по y:

$\displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy =\displaystyle \iint\limits_{D_{1}} {f(x,y)} \, dx dy+ \displaystyle \iint\limits_{D_{2}} {f(x,y)} \, dxdy =$

$\displaystyle = \int\limits^{2}_{0} {} \, dx \int\limits^{x}_{0} {f(x,y)} \, dy + \int\limits^{4}_{2} {} \, dx \int\limits^{4 - x}_{0} {f(x,y)} \, dy$

Внутренний интеграл по x:

$\displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy = \int\limits^{2}_{0} {} \, dy \int\limits^{4 - y}_{y} {f(x,y)} \, dx$

Область $D:$

$y = x$

$x + y = 6 \Longleftrightarrow y = 6 - x \Longleftrightarrow x = 6 - y$

$y = 1$

Найдем точку пересечения прямой $y = 6 - x$ и прямой $y = x:$

$6 - x = x$

$2x = 6|:2$

$x = 3$

$y = 6 - x = 6 - 3 = 3$

Точка $(3;3)$ есть пересечения прямой $y = 6 - x$ и прямой $y = x$ .

Найдем точку пересечения прямой $y = 6 - x$ и прямой $y = 1:$

$6 - x = 1 \Longrightarrow x = 5$

Найдем точку пересечения прямой $y = 1$ и прямой $y = x:$

$x = 1$

При рассмотрении внутреннего интеграла по y, область $D$ необходимо разбить на две области $D_{1}$ и $D_{2}$ . Прямая $x = 3$ разбивает область на две области. Поэтому следует разбить интеграл на 2 области и отдельно вычислять по каждой из областей.

Внутренний интеграл по y:

$\displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy =\displaystyle \iint\limits_{D_{1}} {f(x,y)} \, dxdy + \displaystyle \iint\limits_{D_{2}} {f(x,y)} \, dxdy =$

$\displaystyle = \int\limits^{3}_{1} {} \, dx \int\limits^{x}_{1} {f(x,y)} \, dy + \int\limits^{5}_{3} {} \, dx \int\limits^{6 - x}_{1} {f(x,y)} \, dy$