Алгебра, вопрос задал Reideen , 6 лет назад

Задание приложено...

Приложения:

Ответы на вопрос

Ответил mathkot

Ответ:

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном $n$ необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

1) Доказать, что утверждение верно при $n = 1$ (или для любого другого конкретного натруального $p$ , тогда утверждение будет доказано от $p$ и до всех последюущих натуральных $n$ если удастся доказать индуктивный переход).

Индуктивный переход:

2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для $n = k + 1$

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных методом математической индукции.

1.109

Воспользуемся методом математической индукции:

$2^{n} > 2n; n \in \mathbb N; n \geq 3$

База индукции:

$n = 3;$

$2^{3} \lor 2 \cdot 3$

$8 \lor 2 \cdot 3$

$8 > 6 \Longrightarrow \boxed{ 2^{3} > 2 \cdot 3 }$ - верно

Индуктивный переход:

$n = k;$

$\boxed{2^{k} > 2k}$ - пусть верно

$2^{k} - 2k > 0$

Необходимо доказать:

$n = k + 1;$

$2^{k + 1} > 2(k + 1)$

$2^{k} \cdot 2^{1} > 2k + 2$

$2 \cdot 2^{k} - 2k - 2 > 0$

$\underbrace{ 2^{k} - 2k}_{0} + 2^{k} - 2 > 0$

$2^{k} - 2 > 0$

$2^{k} > 2^{1} \Longrightarrow k > 1$

А так как по условию минимальное $k = 3$ , то при $k \in \mathbb N; k \geq 3$ неравенство верно при любых $k$ .

Утверждение для $n = k + 1$ верно, тогда методом математической индукции доказано, что $\boxed{2^{n} > 2n}$ при $n \in \mathbb N; n \geq 3$ .

1.110

Воспользуемся методом математической индукции:

$2^{n+4} > (n + 4)^{2}; n \in \mathbb N$

База индукции:

$n = 1;$

$2^{1+4} \lor (1 + 4)^{2}$

$2^{5} \lor (5)^{2}$

$32 > 25 \Longrightarrow \boxed{2^{1+4} > (1 + 4)^{2}}$

Индуктивный переход:

$n = k;$

$\boxed{2^{k+4} > (k + 4)^{2}}$ - пусть верно

$2^{k} \cdot 2^{4} > k^{2} + 8k + 16$

$16 \cdot 2^{k} > k^{2} + 8k + 16$

$16 \cdot 2^{k} - k^{2} - 8k - 16 > 0| \cdot 2$

$32 \cdot 2^{k} - 2k^{2} - 16k - 32 > 0$

Необходимо доказать:

$n = k + 1;$

$2^{k + 1 +4} > (k + 1 + 4)^{2}$

$2^{k +5} > (k +5)^{2}$

$2^{k} \cdot 2^{5} > k^{2} + 10k + 25$

$32 \cdot 2^{k} - k^{2} - 10k - 25 > 0$

$\underbrace{ 32 \cdot 2^{k} - 2k^{2} - 16k - 32}_{ > 0} + k^{2} + 6k + 7 > 0$

$k^{2} + 6k + 7 > 0$

$k^{2} + 6k + 9 - 2 > 0$

$(k + 3)^{2} > 2$

$\sqrt{ (k + 3)^{2} } > \sqrt{ 2 }; (k \in \mathbb N)$

$k + 3 > \sqrt{2}$

$k > \sqrt{2} - 3$

Так как $\sqrt{2} - 3 < 0$ , то неравенстов верно при $k \in \mathbb N$ .

Утверждение для $n = k + 1$ верно, тогда методом математической индукции доказано, что $\boxed{2^{n+4} > (n + 4)^{2}}$ при $n \in \mathbb N$ .

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Новые вопросы

Английский язык, 1 год назад

слово isn't как переводит...

Русский язык, 1 год назад

помогите плиз!!!!!! Надо найти как можно больше слов с суффиксом (-тель-) и сложные слова что бы они обозначали профессию человека! Заранее спасибо!

Математика, 6 лет назад

Мама отпила из бутылки половину всего молока. Затем Тося выпила треть остатка. Кошке Нюрке налили четверть того, что осталось после Тоси. В итоге в бутылке осталось 36мл молока. Сколько мл молока...

История, 6 лет назад

Перечислите какие реформы были проведены в италии в 19 веке...

Математика, 8 лет назад

помогите a)37дм-18дм6см=? б)37мин48с+45мин16с=?

Геометрия, 8 лет назад

Срочно с решением!! На рисунках изображены графики функций вида у = ах 2 + bх + с. Установите соответствие между знаками и коэффициентами а и с и графиками функций. ГРАФИКИ там фото в нём всё...