Задание 2. Установить чётность или нечётность функции a) y = 4x⁵ + 7x³ b) y = 5x⁵ — 6x⁴ У c) y = x⁴ tg4х​

Ответ:

Чтобы установить четность или нечетность функции, рассмотрим, как изменяется функция при замене переменной x на -x.

a) Функция y = 4x⁵ + 7x³

Подставим -x вместо x:

y(-x) = 4(-x)⁵ + 7(-x)³

Теперь рассмотрим выражение:

4(-x)⁵ = -4x⁵ (пятерка - нечетная степень, а минус сохраняется)

7(-x)³ = -7x³ (тройка - нечетная степень, а минус сохраняется)

Теперь сложим эти два выражения:

y(-x) = -4x⁵ - 7x³

Сравнив результат с исходной функцией, видим, что y(-x) = -y(x).

Таким образом, функция a) y = 4x⁵ + 7x³ является нечетной.

b) Функция y = 5x⁵ - 6x⁴

Подставим -x вместо x:

y(-x) = 5(-x)⁵ - 6(-x)⁴

Аналогично, рассмотрим выражение:

5(-x)⁵ = -5x⁵ (пятерка - нечетная степень, а минус сохраняется)

6(-x)⁴ = 6x⁴ (четная степень, минус исчезает)

Теперь сложим эти два выражения:

y(-x) = -5x⁵ + 6x⁴

Сравнив результат с исходной функцией, видим, что y(-x) = -y(x).

Таким образом, функция b) y = 5x⁵ - 6x⁴ является нечетной.

c) Функция y = x⁴ tg(4x)

Подставим -x вместо x:

y(-x) = (-x)⁴ tg(4(-x))

Теперь рассмотрим выражение:

(-x)⁴ = x⁴ (четная степень, минус исчезает)

Теперь давайте рассмотрим tg(4(-x)). Тангенс четной функции четен, т.е., tg(-θ) = -tg(θ).

Тогда:

tg(4(-x)) = -tg(4x)

Теперь сложим эти два выражения:

y(-x) = x⁴ (-tg(4x))

Сравнив результат с исходной функцией, видим, что y(-x) = -y(x).

Таким образом, функция c) y = x⁴ tg(4x) является нечетной.