Задача 4. Дано три точки А, В, С. Зобразити вектори АВ та АС у декартовій прямокутній системі координат. Знайти:

1) напрямні косинуси вектора АВ; 2) кут між векторами АВ і а.A(-1;2;0), B(2;1;5), C(4;0;1), a=3 AB-4 AC.

Ответ:

Для початку зобразимо вектори AB та AC у декартовій прямокутній системі координат:

AB = B - A = (2; 1; 5) - (-1; 2; 0) = (3; -1; 5)

AC = C - A = (4; 0; 1) - (-1; 2; 0) = (5; -2; 1)

Тепер знайдемо напрямні косинуси вектора AB:

Напрямний косинус відносно осі x: cos(α) = ABx / |AB| = 3 / √(3^2 + (-1)^2 + 5^2) = 3 / √35

Напрямний косинус відносно осі y: cos(β) = ABy / |AB| = -1 / √(3^2 + (-1)^2 + 5^2) = -1 / √35

Напрямний косинус відносно осі z: cos(γ) = ABz / |AB| = 5 / √(3^2 + (-1)^2 + 5^2) = 5 / √35

Отже, напрямні косинуси вектора AB дорівнюють:

cos(α) ≈ 0.514, cos(β) ≈ -0.171, cos(γ) ≈ 0.857

Тепер знайдемо вектор a:

a = 3AB - 4AC = 3(3; -1; 5) - 4(5; -2; 1) = (9; -3; 15) - (20; -8; 4) = (-11; 5; 11)

Отже, вектор a дорівнює (-11; 5; 11).

Задача вирішена.

Відповідь:

Покрокове пояснення: