Математика, вопрос задал grinchakru , 1 год назад

xy'+y=cosx
Диф уравнение первого порядка
ПОМОГИТЕЕЕЕ

yugolovin: (xy)'=cos x; xy=sin x+C; y=(sin x+C)/x

Ответы на вопрос

Ответил Аноним

$\displaystyle xy'+y=\cos x\\ \\ \\ x\cdot \frac{dy}{dx} + \frac{dx}{dx} \cdot y=\cos x\\ \\ \\ \frac{d(x\cdot y)}{dx}=\cos x$

$d(xy)=\cos x dx$

Интегрируя обе части уравнения, получаем

$xy=\sin x +C$ - общий интеграл

$y= \dfrac{\sin x +C}{x}$ - общее решение

Ответил NNNLLL54

$xy'+y=cosx\; |:x\ne 0\\\\y'+\frac{y}{x}=\frac{cosx}{x}$

Линейное дифф. уравнение 1 порядка.
Ищем решение в виде произведения:

$y=uv\; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+\frac{uv}{x}= \frac{cosx}{x} \\\\u'v+u(v'+\frac{v}{x})= \frac{cosx}{x} \\\\a)\; \; \frac{dv}{dx} =-\frac{v}{x} \; \; ,\; \; \int \frac{dv}{v} =-\int \frac{dx}{x} \\\\ln|v|=-ln|x|\; \; \; \Rightarrow \; \; \; v=x^{-1}=\frac{1}{x}\\\\b)\; \; u'\cdot \frac{1}{x} = \frac{cosx}{x} \\\\ \frac{du}{dx} =cosx\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \int du=\int cosx\, dx\\\\u=sinx+C\\\\c)\; \; y=\frac{1}{x}\cdot (sinx+C)$

yugolovin: Я бы в пункте а) добавил фразу "Найдем частное ненулевое решение". Это оправдало бы отсутствие константы и отбрасывание модулей

NNNLLL54: Это всё описывается в теории. А писать здесь всю теорию не моя задача. Автор вопроса должен в учебнике теорию смотреть.

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Новые вопросы

Алгебра, 1 год назад

Срочно даю 20 баллов ...

Русский язык, 1 год назад

Напишите сочинение на тему «Когда моя мама училась в школе Много не надо но средне Заранее благодарю...

Алгебра, 1 год назад

Найти значение выражения 3/4 + 0,18...

Английский язык, 1 год назад