Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х ( в квадрате ) у = 4х - х ( в квадрате )

Знайдемо точки перетину ліній. Прирівнюємо рівняння у = х² та у = 4х - х² одне до одного і отримуємо квадратне рівняння:

x² - 4x + x² = 0

2x² - 4x = 0

2x(x - 2) = 0

x₁ = 0, x₂ = 2.

Отже, точки перетину ліній: A(0, 0) і B(2, 4).

Площа фігури, обмеженої цими лініями, може бути знайдена як сума площі прямокутника ABCD та площі фігури ABF.

Зауважимо, що точка F - це точка перетину ліній y = x² і y = 4x - x². Прирівнюємо рівняння і отримуємо:

x² = 4x - x²

2x² = 4x

x = 2.

Отже, точка F має координати (2, 4).

Тепер можемо обчислити площу прямокутника ABCD: S₁ = AB · BC = (2-0) · (4-0) = 8.

Щоб знайти площу фігури ABF, необхідно відрізати від неї площу трикутника ABF. Це можна зробити знаходженням висоти трікутника з точки F до відрізка AB.

Зауважимо, що вектором AB є <2-0, 4-0> = <2, 4>, а вектором AF - <2-2, 4-4> = <0, 0>. Отже, вектором, перпендикулярним до відрізка AB, є <4, -2> (його можна отримати, застосувавши правило лівої руки до векторного добутку AB × AF).

За формулою для висоти трикутника, маємо:

h = |AF × AB| / |AB| = |(-8, 0)| / √20 = 2√5.

Отже, площа трикутника ABF дорівнює:

S₂ = 0.5 · AB · h = 0.5 · 2 · 2√5 = 2√5.

Тоді площа фігури, обмеженої цими лініями, дорівнює:

S = S₁ - S₂ = 8 - 2√5.