Вычислить производную y=x^(arctg(x^(1/2)))^2

Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмируем данную функцию.
lny=(arctg(√x))²lnx
Находим производную и слева и справа.
При этом
(lny)`=y`/y - производная сложной функции
(lnx)`=1/x, x независимая переменная и x`=1

y`/y=2arctg(√x)·(arctg(√x))`·lnx+(arctg(√x))²·(lnx)`

y`=y·(2arctg(√x)·(1/(1+(√x)²))·(√x)`·lnx+(arctg(√x))²·(1/x)

y`=x^(arctg(√x))²)·( (lnx·arctg(√x))/(√x+x·√x) +(arctg(√x))²/x

Спасибо, но цель найти сложную производную без лог. дифференцирования.

Для показательно-степенной функции есть просто готовая формула, полученная методом логарифмического дифференцирования.

y=(f(x))^(g(x)); y`=(f(x))^(g(x))* (g`(x)*lnf(x)+g(x)*(lnf(x))`)