Вычислить длину дуги одной арки циклоиды x=a(1-sin(t)), y=a(1-cos(t)), (t от 0 до 2пи)
Ответы на вопрос
Ответил Аноним
0
Вычислим производные
x'=a(1-cost)
y'=a sint
Формула длины линии
![L= intlimits^{2 pi} _0 { sqrt{(x')^2+(y')^2} } , dt= intlimits^{2 pi} _0 { sqrt{(x')^2+(y')^2} } , dt= \
= intlimits^{2 pi} _0 { sqrt{(a(1-cost))^2+(a ,sint)^2} } , dt= \
=intlimits^{2 pi} _0 {a sqrt{1-2,cost+cos^2t+sin^2t} } , dt= \
=intlimits^{2 pi} _0 {a sqrt{2(1-,cost)} } , dt =intlimits^{2 pi} _0 {a sqrt{2(2sin^2 frac{t}{2} )} } , dt= \
=2aintlimits^{2 pi} _0 {sin frac{t}{2}} } , dt=-4acosfrac{t}{2}}|_0^{2 pi }=-4acos pi +4acos0=8a](https://tex.z-dn.net/?f=L%3D+intlimits%5E%7B2+pi%7D+_0+%7B+sqrt%7B%28x%27%29%5E2%2B%28y%27%29%5E2%7D+%7D+%2C+dt%3D+intlimits%5E%7B2+pi%7D+_0+%7B+sqrt%7B%28x%27%29%5E2%2B%28y%27%29%5E2%7D+%7D+%2C+dt%3D+%5C+%0A%3D+intlimits%5E%7B2+pi%7D+_0+%7B+sqrt%7B%28a%281-cost%29%29%5E2%2B%28a+%2Csint%29%5E2%7D+%7D+%2C+dt%3D++%5C+%0A%3Dintlimits%5E%7B2+pi%7D+_0+%7Ba+sqrt%7B1-2%2Ccost%2Bcos%5E2t%2Bsin%5E2t%7D+%7D+%2C+dt%3D+%5C+%0A%3Dintlimits%5E%7B2+pi%7D+_0+%7Ba+sqrt%7B2%281-%2Ccost%29%7D+%7D+%2C+dt+%3Dintlimits%5E%7B2+pi%7D+_0+%7Ba+sqrt%7B2%282sin%5E2+frac%7Bt%7D%7B2%7D+%29%7D+%7D+%2C+dt%3D+%5C+%0A+%3D2aintlimits%5E%7B2+pi%7D+_0+%7Bsin+frac%7Bt%7D%7B2%7D%7D+%7D+%2C+dt%3D-4acosfrac%7Bt%7D%7B2%7D%7D%7C_0%5E%7B2+pi+%7D%3D-4acos+pi+%2B4acos0%3D8a "L= intlimits^{2 pi} _0 { sqrt{(x')^2+(y')^2} } , dt= intlimits^{2 pi} _0 { sqrt{(x')^2+(y')^2} } , dt= \
= intlimits^{2 pi} _0 { sqrt{(a(1-cost))^2+(a ,sint)^2} } , dt= \
=intlimits^{2 pi} _0 {a sqrt{1-2,cost+cos^2t+sin^2t} } , dt= \
=intlimits^{2 pi} _0 {a sqrt{2(1-,cost)} } , dt =intlimits^{2 pi} _0 {a sqrt{2(2sin^2 frac{t}{2} )} } , dt= \
=2aintlimits^{2 pi} _0 {sin frac{t}{2}} } , dt=-4acosfrac{t}{2}}|_0^{2 pi }=-4acos pi +4acos0=8a")
Ответ: 8а
x'=a(1-cost)
y'=a sint
Формула длины линии
Ответ: 8а
Новые вопросы