Математика, вопрос задал dmitropolo47 , 1 год назад

вычислить длину дуги кривой при помощи интеграла

$\sqrt{ \frac{x}{a} } + \sqrt{ \frac{y}{b} } = 1$

igorShap: К слову, можно использовать подстановки Чебышева, я как-то совсем забыл про них

igorShap: Может так даже легче получится, чем через sin^4(t)

Аноним: Подстановка чебышева состоит из двух слагаемых в скобке, а тут три

igorShap: Полный квадрат выделить и замену сделать небольшую

igorShap: А вот что дальше будет по сложности - не могу сказать

igorShap: Прошу прощения, бред написал, а когда осознал это, доступ к интернету исчез... К слову, ответ на моём скриншоте также неверный, вычислительная ошибка есть серьезная

igorShap: Вот мой итоговый ответ для положительных а и b, https://prntscr.com/ottnic , теперь надо расписать.

igorShap: А в общем случае вместо а и b в формуле должны стоять модули

Ответы на вопрос

Ответил igorShap

Пусть $a,\:b > 0$ Тогда $x,\:y > 0$ . Также, т.к. корень - число неотрицательное, то $\sqrt{\dfrac{x}{a}}\leq 1\to x\leq a\\ \sqrt{\dfrac{y}{b}}\leq 1\to y\leq b$ .

Теперь заменим $a$ на противоположное число $-a$ . Заметим, что теперь $-a\leq x\leq 0$ и каждому значению функции, соответствующее каждому значению аргумента, соответствует противоположный аргумент. Проведя аналогичные действия для $b$ , заметим, что изменение знака параметров на противоположные лишь отображает график относительно координатных осей, но не меняют длину кривой. Тогда достаточно найти длину кривой для положительных $a, b$ , а затем в получившейся формуле заменить $a$ на $|a|$ , $b$ на $|b|$ .

Теперь запишем параметрическое задание функции.

Пусть $x=asin^4t$ . Тогда $sin^2t+\sqrt{\dfrac{y}{b}}=sin^2t+cos^2t\to y=bcos^4t$ , $t\in[0;\dfrac{\pi}{2}]$ .

$x'_t=4asin^3tcost\\ y'_t=-4bcos^3tsint$

Вычисление длины кривой на фото 1 и 2. На 3 фото вычисление вспомогательного интеграла.

Теперь остается лишь подставить модули параметров. Получаем $L=\dfrac{a^2b^2}{(\sqrt{a^2+b^2})^3}ln|\dfrac{|a|+|b|+\sqrt{a^2+b^2}}{|a|+|b|-\sqrt{a^2+b^2}}|+\dfrac{|a|^3+|b|^3}{a^2+b^2}$