Вокруг треугольника АВС описана окружность. Биссектриса угла А пересекает окружность в точке К. Найти АК, если ВС=а, угол В=бетта, угол С=гамма.

По расширенной  теореме синусов

ACsin B=ABsin c=BCsin A=2R

BC=a

A=180-B-C

A2=90-B2-C2

значит R=BC(2sin A)=a(2sin (180-B-C))=a(2sin (B+C))

по свойству вписанных углов спряжающих одну и ту же дугу

угол СВК=угол А2=угол ВСК

окружность описання вокруг треугольника АВС будет и описанной окружностью вокруг треугольника АВК

По расширенной  теореме синусов

АКsin (В+А2)=2R

АК=2R * sin (В+А2)=2*a(2sin (B+C))*sin (B+90-B2-C2)=

=a(sin (B+C))*sin (90+B2-C2)=a(sin (B+C))*cos (C2-B2)=

=a(sin (бетта+гамма.))*cos (гамма.2-бетта2)