В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания рав-
на 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах B1C1 и AB отмечены точки P и Q соответственно,
причём P C1 = 3, а AQ = 4. Плоскость A1P Q пересекает ребро BC в точке M.
Найдите расстояние от точки B до плоскости A1PQ.
Как решить задачу, не используя объём?

Ответ:

Объяснение:

1. Строим сечение призмы плоскостью (А₁PQ).

Проводим отрезки  А₁Р и A₁Q.

Строим вспомогательное сечение АА₁РР₁ - прямоугольник, АР₁║А₁Р.

В нижнем основании строим QM║АР₁, ⇒ QM║A₁P (две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым).

A₁PMQ - искомое сечение.

2. Строим плоскость, проходящую через ребро ВВ₁, перпендикулярную сечению.

Проведем ВН⊥QM и B₁H₁⊥A₁P. Так как QM║A₁P, то и перпендикуляры к этим прямым, лежащие в одной плоскости, параллельны.

Итак, QM⊥BH по построению, QM⊥B₁B (QM лежит в плоскости основания, а ВВ₁ перпендикулярно ему), значит, QM⊥(BB₁H₁).

QM принадлежит плоскости сечения, значит

(BB₁H₁)⊥(A₁PQ).

3. Строим перпендикуляр из точки В к плоскости сечения.

В плоскости (ВВ₁Н₁) проведем ВК⊥НН₁.

QM⊥(ВВ₁Н₁), ВК⊂(ВВ₁Н₁), значит QM⊥BK.

Тогда ВК⊥(A₁PQ), ⇒ ВК - искомое расстояние.

________________________________

Р₁С = РС₁ = 3, ⇒ ВР₁ = 12 - 3 = 9

BQ = AB - AQ = 12 - 4 = 8

QM║АР₁, по обобщенной теореме Фалеса:

ВМ = 6, МР₁ = 3.

______

ΔBMQ:  по теореме косинусов:

QM² = BM² + BQ² - 2BM·BQ·cos60°

QM² = 36 + 64 - 2 · 6 · 8  · 1/2 = 100 - 48 = 52

QM = 2√13

Полупериметр треугольника BMQ:

Площадь по формуле Герона:

___________

ΔB₁A₁P:  по теореме косинусов

A₁P² = B₁A₁² + B₁P² - 2·B₁A₁·B₁P·cos60°

A₁P² = 12² + 9² - 2 · 12 · 9 · 1/2 = 144 + 81 - 108 = 117

A₁P = 3√13

Полупериметр треугольника В₁А₁Р:

Площадь по формуле Герона:

_____________

Рассмотрим выносной рисунок.

Проведем НЕ║ВВ₁

EH₁ = BB₁ = 2

Из ΔНЕН₁ по теореме Пифагора:

________

ΔBKH: