В некоторые клетки доски 8 на 8 вписаны треугольники, у которых одна сторона
совпадает со стороной клетки, а вершина напротив этой стороны лежит в середине противоположной стороны клетки. У треугольников нет общих точек. Каково наименьшее возможное число пустых клеток?

Ответ:

Позначимо каждую клетку доски точкой, а сторону клетки, в которой лежит вершина треугольника, обозначимо как отрезок. Каждый треугольник занимает три клетки, а также пересекает три стороны клеток. Таким образом, каждый треугольник "занимает" 1 + 1 + 1 = 3 клетки доски.

Тепер рассмотрим доску 8 на 8. Вся доска содержит 64 клетки. Если каждый треугольник занимает 3 клетки, то минимальное количество треугольников, чтобы заполнить всю доску, будет 64 / 3, что примерно равно 21 с некоторым остатком.

Однако каждый треугольник пересекает три стороны, и каждая сторона может быть пересечена только одним треугольником. Таким образом, количество треугольников должно быть целым числом, и мы не можем заполнить всю доску треугольниками.

Таким образом, минимальное возможное количество пустых клеток – это оставшиеся клетки после размещения максимального возможного числа треугольников. Это оставшиеся 64 - 3 * 21 = 64 - 63 = 1 клетка.

Таким образом, наименьшее возможное число пустых клеток – это 1.