Алгебра, вопрос задал reygen , 6 месяцев назад

В коробке 100 болтов. Ровно у двух болтов сорвана резьба. Сергей Петрович берёт из коробки 20 болтов. Найдите вероятность того, что: а) оба плохих болта достанутся Сергею Петровичу; б) оба плохих болта останутся лежать в коробке;

Ответы на вопрос

Ответил yugolovin

Ответ:

$\dfrac{19}{495};\ \ \dfrac{316}{495}.$

Объяснение:

В принципе это стандартная задача о выборке: если у вас есть K предметов первого типа и M предметов второго типа (K+M=N), и вы случайным образом из N предметов выбираете n предметов, то вероятность того, что среди них будет k предметов первого типа и m предметов второго типа (k≤K, m≤M, k+m=n) равна

$\dfrac{C_K^k\cdot C_M^m}{C_N^n}.$

Здесь $C_p^q -$ число сочетаний из p по q, то есть число способов выбрать из p предметов q предметов, их не упорядочивая,

$C_p^q=\dfrac{p!}{q!\cdot (p-q)!}.$

Заметим, что $C_p^0=C_p^p=1.$

В нашем конкретном примере N=100, K=2, M=98, n=20, причем в пункте а k=2, m=18, в пункте б k=0, m=20.

В пункте а получаем вероятность

$\dfrac{C_2^2\cdot C_{98}^{18}}{C_{100}^{20}}=\dfrac{98!\cdot 20!\cdot 80!}{18!\cdot80!\cdot 100!}=\dfrac{20\cdot 19}{100\cdot 99}=\dfrac{19}{495}.$

В пункте б получаем вероятность

$\dfrac{C_2^0\cdot C_{98}^{20}}{C_{100}^{20}}=\dfrac{98!\cdot 20!\cdot 80!}{20!\cdot 78!\cdot 100!}=\dfrac{80\cdot 79}{100\cdot 99}=\dfrac{316}{495}.$

Замечание. Попробуем проанализировать получившиеся ответы. Скажем, в первом случае мы получили

$\dfrac{20}{100}\cdot \dfrac{19}{99}.$

Представить себе, что такая структура ответа получилась случайно (а ведь во втором случае структура такая же!), совершенно невозможно. В результате возникло рассуждение другого типа, приводящее к тому же результату, но с более простыми выкладками. Представим себе, что болты не лежат грудой в коробке, а аккуратно разложены и пронумерованы. Даже не так. Пусть сначала коробка была пустая, и в ней 100 ячеек, в каждую из которых может поместиться ровно один болт. Сергей Петрович отмечает 20 ячеек и начинает случайным образом раскладывать болты по ячейкам.То, в каком порядке он это делает (то есть какой болт он кладет первым, какой вторым и так далее) не может повлиять на ответ. Поэтому можно считать, что сначала он раскладывает болты с сорванной резьбой. Вероятность того, что первый из них попадет в одну из 20 отмеченных ячеек, равна

$\dfrac{20}{100}$

(наверху - число благоприятных возможностей, внизу - общее число возможностей). Если первый попал в отмеченную ячейку, для второго болта остается только 19 отмеченных из 99 свободных, поэтому вероятность того, что он тоже попадет в отмеченную ячейку, равна

$\dfrac{19}{99}.$