в классе 1000q учеников, из них 120q девочек и 110q мальчиков. найдите q
Ответы на вопрос
Ответил Ziorar
0
Не сразу сообразил, что q -это основание системы счисления, в которой записаны эти три числа. Напишу два способа решения.
Решение 1 (логическое, попроще):
по условию задачи понятно, что
(количество учеников равно числу девочек плюс число мальчиков)
Посмотрим, как происходит поразрядное сложение этих двух чисел:
в первом разряде:
-здесь вопросов нет
во втором разряде:
-это значит, что цифры три в этой системе счисления нет (к двойке добавили единицу, но тройку не получили, а получили обнуление этого разряда и естественно единица добавилась к следующему разряду, то есть полностью сумма выглядит так: 
).
Итак, в этой системе используются только три цифры: 0, 1, 2. Значит это система с основанием 3. Ответ: q=3.
Решение 2 (через уравнение, посложнее):
возьмём уравнение, написанное в начале способа №1, но числа распишем по правилам перевода из системы с любым основанием в десятичную систему:
(1*q^2 +2*q^1 +0*q^0) + (1*q^2 +1*q^1 +0*q^0) = (1*q^3 +0*q^2 +0*q^1 +0*q^0)
а далее будем упрощать выражения и решать полученное уравнение по обычным правилам алгебры:
q^2 + 2*q + q^2 + q = q^3
q^3 - 2*q^2 - 3*q = 0
q * (q^2 - 2*q - 3) = 0
это произведение будет равно нулю если q=0, либо если q^2 - 2*q - 3 = 0
решим это квадратное уравнение:
![q_{1} = frac{-(-2)+ sqrt{(-2)^{2}-4*1*(-3) } }{2*1}=frac{2+ sqrt{16} }{2} = 3 \
\
q_{2} = frac{-(-2)- sqrt{(-2)^{2}-4*1*(-3) } }{2*1}=frac{2- sqrt{16} }{2} = -1](https://tex.z-dn.net/?f=q_%7B1%7D+%3D+frac%7B-%28-2%29%2B+sqrt%7B%28-2%29%5E%7B2%7D-4%2A1%2A%28-3%29+%7D+%7D%7B2%2A1%7D%3Dfrac%7B2%2B+sqrt%7B16%7D+%7D%7B2%7D+%3D+3+%5C%0A%5C%0Aq_%7B2%7D+%3D+frac%7B-%28-2%29-+sqrt%7B%28-2%29%5E%7B2%7D-4%2A1%2A%28-3%29+%7D+%7D%7B2%2A1%7D%3Dfrac%7B2-+sqrt%7B16%7D+%7D%7B2%7D+%3D+-1 "q_{1} = frac{-(-2)+ sqrt{(-2)^{2}-4*1*(-3) } }{2*1}=frac{2+ sqrt{16} }{2} = 3 \
\
q_{2} = frac{-(-2)- sqrt{(-2)^{2}-4*1*(-3) } }{2*1}=frac{2- sqrt{16} }{2} = -1")
Итак, корни исходного (кубического) уравнения- числа 0, 3 и -1
Ноль и минус один по условиям нашей задачи не подходят, т.к. основание системы счисления не может быть отрицательным или равным нулю.
Поэтому, имеем только один ответ: основание q=3.
По желанию можно выполнить проверку нашего решения:
Переведём три числа, указанные в условии задачи из троичной системы счисления в десятичную (перевод уже расписан в начале способа №2):
120₃ = 1*3^2 + 2*3^1 = 9 + 6 = 15₁₀ (девочек)
110₃ = 1*3^2 + 1*3^1 = 9 + 3 = 12₁₀ (мальчиков)
1000₃ = 1*3^3 = 27₁₀ (учеников всего)
Суммируем первые два полученных числа: 15 + 12 = 27
Сумма сходится, значит решение верно.
Решение 1 (логическое, попроще):
по условию задачи понятно, что
(количество учеников равно числу девочек плюс число мальчиков)
Посмотрим, как происходит поразрядное сложение этих двух чисел:
в первом разряде:
во втором разряде:
Итак, в этой системе используются только три цифры: 0, 1, 2. Значит это система с основанием 3. Ответ: q=3.
Решение 2 (через уравнение, посложнее):
возьмём уравнение, написанное в начале способа №1, но числа распишем по правилам перевода из системы с любым основанием в десятичную систему:
(1*q^2 +2*q^1 +0*q^0) + (1*q^2 +1*q^1 +0*q^0) = (1*q^3 +0*q^2 +0*q^1 +0*q^0)
а далее будем упрощать выражения и решать полученное уравнение по обычным правилам алгебры:
q^2 + 2*q + q^2 + q = q^3
q^3 - 2*q^2 - 3*q = 0
q * (q^2 - 2*q - 3) = 0
это произведение будет равно нулю если q=0, либо если q^2 - 2*q - 3 = 0
решим это квадратное уравнение:
Итак, корни исходного (кубического) уравнения- числа 0, 3 и -1
Ноль и минус один по условиям нашей задачи не подходят, т.к. основание системы счисления не может быть отрицательным или равным нулю.
Поэтому, имеем только один ответ: основание q=3.
По желанию можно выполнить проверку нашего решения:
Переведём три числа, указанные в условии задачи из троичной системы счисления в десятичную (перевод уже расписан в начале способа №2):
120₃ = 1*3^2 + 2*3^1 = 9 + 6 = 15₁₀ (девочек)
110₃ = 1*3^2 + 1*3^1 = 9 + 3 = 12₁₀ (мальчиков)
1000₃ = 1*3^3 = 27₁₀ (учеников всего)
Суммируем первые два полученных числа: 15 + 12 = 27
Сумма сходится, значит решение верно.
Новые вопросы