В каждой клетке доски 11x11 сидит бабочка. В какой-то момент времени все бабочки взлетают, и
после этого каждая из бабочек садится в клетку, соседнюю по стороне с той, из которой она
взлетела. Докажите, что в какую-то клетку не сядет ни одна бабочка. Ответ обоснуйте.

На доске 11х11 "центром" будет единственная клетка (пусть такая доска будет называться "нечетной"), в отличие от доски, где сторона выражена числом четным (такую доску назову "четной"). На "четной" доске "центром" будет квадрат 2х2 клетки.

Рассмотрим внешнее кольцо (замкнутый участок, образованный клетками) произвольной доски. Пусть каждая бабочка после взлета садится на соседнюю клетку, которая идет следующей, допустим, по часовой стрелке.
Таким образом, в выбранном кольце все бабочки спокойно переместились.

Отбросим это кольцо, т.к. оно ни на что не влияет.

Проделаем то же самое с остальными кольцами.

В конечном итоге придем либо к доске 2х2 или к 1х1 (т.к. данная доска "нечетная" (11х11), то неизбежно алгоритм приведет к доске 1х1). Бабочка, находящаяся в этой клетке, не сможет поменять свое место.

Все это легко показать на досках 3х3 и 4х4 в сравнении.