Усі сторони трикутника дотикаються до кулі, радіус якої дорівнює 5 см. Знайдіть відстань від центра кулі до площини трикутника, якщо його сторони дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см.

Відповідь:

Нехай трикутник доторкається кулі у точках А,В,С,тобто

ці точки одночасно належать сторонам даного трикутника та сфері.Тоді відрізки

ОА,ОВ,ОС- радіуси кулі.

ОА=ОВ=ОС=5 см.

Опустимо з точки О - центра кулі, перпендикуляр ОО1 в площину трикутника. Трикутники

ОАО1, ОСО1, ОВО1 рівні за катетами і гіпотенузою,

тому ВО1 =АО1=СО1.

З останньої рівності отримуємо,що точка О1 рівновіддалена від сторін трикутника,що свідчить про те,що ця точка є центром кола вписаного в даний трикутника

Обчислимо довжину радіуса кола (r), вписаного в трикутник ,

за формулою

r = 2S/a +b+c.

Обчислимо площу трикутника за формулою Герона

S= корінь квадратний p(p-a)(p-b)(p-c),

S = корінь квадратний 21 (21-13)(21-14)(21-15)= корінь квадратний 21×8×7×6=84 (см^) ,

r =AO1=2×84/13+14+15=4 (см^).

З прямокутного трикутника OAO1 знайдемо шукану відстань ОО1 = 3см.

Відповідь : 3см.

Пояснення: