Упростите выражение: sin a + sin 3a cosa+cos3a​

Ответ:

Для упрощения этого выражения мы будем использовать формулы тригонометрии. Одна из таких формул - это формула для синуса суммы двух углов:

sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b

Мы также можем использовать формулу для синуса и косинуса тройного угла:

sin 3a = 3 sin a - 4 sin^3 a

cos 3a = 4 cos^3 a - 3 cos a

Используя эти формулы, мы можем переписать исходное выражение в следующем виде:

sin a + sin 3a cos a + cos 3a

= sin a + (3 sin a - 4 sin^3 a) cos a + (4 cos^3 a - 3 cos a)

= sin a + 3 sin a cos a - 4 sin^3 a cos a + 4 cos^3 a - 3 cos a

= 4 cos^3 a - 4 sin^3 a cos a + 3 sin a cos a - 2 cos a + sin a

Мы можем продолжить упрощение, группируя слагаемые:

= (4 cos^3 a - 4 sin^3 a cos a) + (3 sin a cos a + sin a - 2 cos a)

Для первой группы слагаемых мы можем использовать формулу синуса суммы кубов:

sin^3 a + cos^3 a = (sin a + cos a)(sin^2 a - sin a cos a + cos^2 a)

Применяя эту формулу, мы можем переписать первую группу слагаемых в виде:

4 cos^3 a - 4 sin^3 a cos a = 4 cos a sin^2 a = 4 cos a (1 - cos^2 a)

Теперь мы можем объединить первую группу слагаемых с второй:

= 4 cos a (1 - cos^2 a) + (3 sin a cos a + sin a - 2 cos a)

= 4 cos a - 4 cos^3 a + 3 sin a cos a + sin a - 2 cos a

= sin a + cos a + sin a cos a - 4 cos^3 a + cos a sin a

Таким образом, мы получили упрощенное выражение:

sin a + cos a + sin a cos a - 4 cos^3 a + cos a sin a.

Пошаговое объяснение: