Геометрия, вопрос задал vikysi4ka13 , 2 года назад

У прямокутнийтрикутник АВС (  В=900) вписано квадрат.
Знайдітьплощу квадрата, якщо АВ=12 см, ВС=16 см.

Приложения:

antonovm: уж больно сторона квадрата некрасивая ( 240 /37 )

GoldenVoice: Перепроверил триста раз все выкладки... Таки получается так

antonovm: таки 2 разных решения дают один ответ

GoldenVoice: У меня сегодня вечер плохих ответов. Будет забавно, если я таки в порыве страсти где-нибудь налажаю, приняв арифметическую ошибку за очередной плохой ответ :)

Ответы на вопрос

Ответил GoldenVoice

Ответ:

Площадь квадрата равна $42\frac{{102}}{{1369}}$ см2.

Объяснение:

Треугольники $ANK$ , $FMC$ и $ABC$ подобны (одинаковые углы обозначены одним цветом).

Пусть сторона квадрата равна $x$ . Тогда из треугольника $AKN$

$\displaystyle\frac{{AN}}{{KN}} = \displaystyle\frac{{AB}}{{BC}} = \displaystyle\frac{{12}}{{16}} = \displaystyle\frac{3}{4},\ AN = \displaystyle\frac{3}{4}x.$

Из треугольника $FMC$

$\displaystyle\frac{{FM}}{{MC}} = \displaystyle\frac{{AB}}{{BC}} = \displaystyle\frac{3}{4},\ MC = \displaystyle\frac{4}{3}x.$

Значит гипотенуза

$AC = AN + NM + MC = \displaystyle\frac{3}{4}x + x + \displaystyle\frac{4}{3}x = \displaystyle\frac{{9 + 12 + 16}}{{12}}x = \displaystyle\frac{{37}}{{12}}x.$

По теореме Пифагора из треугольника $ABC$

$A{B^2} + B{C^2} = A{C^2};\\\\{12^2} + {16^2} = {\left( {\displaystyle\frac{{37}}{{12}}x} \right)^2};\\\\{\left( {\displaystyle\frac{{37}}{{12}}x} \right)^2} = 400;\\\\\displaystyle\frac{{37}}{{12}}x = 20;\\\\x = 20 \cdot \displaystyle\frac{{12}}{{37}} = \displaystyle\frac{{240}}{{37}}.$