Алгебра, вопрос задал Ludi0 , 1 год назад

Срочно!!!!Дослідити функцію та побудувати її графік
f(x)=1/(x^2-3x)

Ответы на вопрос

Ответил reygen

Исследуйте функцию и постройте ее график

$f(x)= \dfrac{1}{x^2 - 3x}$

1. Область определения :

x² -3x ≠ 0
x(x-3) ≠ 0 ⇒

$D(y ) =\left \{ \begin{array}{l}x\neq 0 \\ x\neq 3 \end{array}$ или $x \in (-\infty ~ ; ~ 0)\cup (~0~;~3~)\cup (3 ~ ; ~ \infty )$

2. Четность нечетность :

$f(-x)= \dfrac{1}{(-x)^2 - 3\cdot (-x)} = \dfrac{1}{x^2 + 3x} \neq \pm f(x)$ ⇒ не является ни четной , ни нечетной

3.Пересечение с осями координат :

Точек пересечения с осями Ox и Oy нет , поскольку x ≠ 0 , y ≠ 0

4.Непрерывность :

x = 0 , x = 3 - вертикальные асимптоты

Находим наклонную асимптоту

y = kx + b

$\displaystyle k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} ~ ; ~b = \lim_{x \to \pm\infty}\big(f(x)-kx \big )$

$\displaystyle k = \lim_{x \to \pm \infty}\frac{1}{x(x^2 - 3x) } = \lim_{x \to \pm \infty}\frac{1}{x^2(x - 3) } = \frac{1}{(- \infty ) ^2 (\infty -3)} = 0$

$b = \lim_{x \to \pm\infty}\bigg( \dfrac{1}{x^2 - 3x}-k\cdot 0 \bigg ) = \dfrac{1}{\pm \infty (\infty -3)} = 0$

⇒ мы получили горизонтальную асимптоту y = 0

5.Возрастание убывание , экстремумы :

$\displaystyle f'(x)= \bigg ( \dfrac{1}{x^2 - 3x} \bigg ) ' = \Big ( (x^2 - 3x)^{-1} \Big ) ' = - (x^2 -3x)^{-2}\cdot (x^2 - 3x)' = \\\\\\ = -\frac{(2x- 3)}{(x^2 -3x)^2} = \frac{3- 2x}{x^2(x - 3)^2}$

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(.25 ,-.2){ \Large $\nearrow$ } \put(0.95,-0.3) {\sf 0} \put(1.25 ,-.2){ \Large $\nearrow$ } \put(1.29 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(.25 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(2.24 ,0.1){ \LARGE \text{ ---} } \put(3.2 ,0.1){ \LARGE \text{ ---} } \put(1,0){\circle{0.055}} \put(1.97,-0.3) {\sf 1\!,5}\put(2.05,0){\circle*{0.055}} \put(2.35 ,-.2){ \Large $\searrow$ } \put(2.96,-0.3) {\sf 3}\put(3,0){\circle{0.055}} \put(3.35 ,-.2){ \Large $\searrow$ } \put(0,0){\vector (1,0){4}} \end{picture}$

$\Large \boldsymbol{ \nearrow }$ Возрастает когда $x\in( -\infty ~ ; ~ 0~ ) ~; ~ (~0~ ; ~ 1,5 ~]$

$\Large \boldsymbol{ \searrow }$ Убывает когда $x \in [~ 1,5 ~ ; ~ 3~) ~; ~ ( ~3 ~; ~ \infty ~)$

Если производная меняет знак c «+» на «-» , то в данной точке будет максимум , если c «-» на «+», то минимум .

Следовательно , функция имеет только точку максимума когда
x max = 1,5 (поскольку только эта точка закрашена )
$y _{max}(1,5) = \dfrac{1}{1,5^2 - 3\cdot 1,5 } =\dfrac{1}{-\dfrac{9}{4} } = -\dfrac{4}{9}$

6.Выпуклость вогнутость :

Находим вторую производную :

$\displaystyle f''(x) = \bigg ( \frac{3- 2x}{(x^2 - 3x)^2} \bigg ) ' = \frac{(3-2x) ' (x^2 -3x)^2 - (3-2x)\Big( (x^2 - 3x)^2\Big)'}{(x^2 - 3x)^4} = \\\\\\=\frac{-2(x^2 - 3x)^2+(2x-3)\cdot 2(x^2 -3x)\cdot (2x-3)}{(x^2 -3x)^4}= \\\\\\=\frac{2(x^2 -3x)\Big(-(x^2 -3x)+ (2x-3)^2 \Big) }{(x^2 - 3x)^4} = \frac{2(-x^2 +3x + 4x^2 -12x + 9 )}{(x^2 -3x)^3} = \\\\\\ = \frac{2(3x^2 -9x +9 )}{(x^2 - 3x)^3}= \frac{6(x^2 -3x + 3)}{(x^2 - 3x ) ^3 }= \frac{6(x^2 -3x + 3)}{x^3 (x-3)^3}$

Приравниваем числитель получившейся дроби к нулю :

$x^2 -3x + 3 =0 \\\\ D = 9 - 12 < 0$ ⇒ у нашей функции нет точек перегиба

Рассмотрев знаменатель , мы получим интервал :

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(.95,-0.3) {\sf 0} \put(.2 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(.17 ,-0.3){ \Huge $ \smile$} \put(1.3 ,0.1){ \LARGE ---} \put(1.27 ,-0.3){ \Huge $\frown $} \put(2.25 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(1,0){\circle{0.055}} \put(2.25 ,-0.3){ \Huge $\smile$ } \put(2,-0.3) {\sf 3}\put(2.05,0){\circle{0.055}} \put(1,0.3) \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture}$