Снаряд массой 5 кг, выпущенный вертикально вверх со скоростью 200 м/с,
разрывается в верхней точке траектории на два осколка. Первый осколок после
взрыва летит вертикально вниз и достигает земли через 10 секунд. Определите
скорость второго осколка, если его масса в 1,5 раза больше массы первого осколка.
Сколько энергии выделяется при взрыве? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

M = 5 кг

V = 200 м/с

m₂ = 1,5m₁

t = 10 с

g = 10 м/с²

υ₂, E - ?

Решение:

В верхней точке траектории будет работать закон сохранения импульса. Направление вертикальной оси примем вверх, тогда:

m₂*υ₂ - m₁*υ₁ = 0 =>

=> m₂*υ₂ = m₁*υ₁

1,5m₁*υ₂ = m₁*υ₁ | : m₁

1,5*υ₂ = υ₁

υ₂ = υ₁/1,5 (***)

Нам нужно вычислить начальную скорость первого заряда υ₁. Используем для этого кинематическую формулу перемещения:

s = υ₀*t + g*t²/2

Перемещение s равно высоте, на которой происходит взрыв. Вертикальную ось направим вниз. Тогда:

h = υ₁ *t + g*t²/2

Высоту найдём, используя закон сохранения механической энергии (кинетическая энергия снаряда в начале движения равна его потенциальной энергии в конце движения):

Еп = Ек

Mgh = MV²/2 | : M

gh = V²/2

h = V²/(2g)

Приравниваем кинематическое выражение к энергетическому. Затем выражаем скорость υ₁:

V²/(2g) = υ₁ *t + g*t²/2

υ₁ *t = V²/(2g) - g*t²/2 | : t

υ₁ = V²/(2gt) - g*t/2 = 200²/(2*10*10) - 10*10/2 = 200*200/(200) - 100/2 = 200 - 50 = 150 м/с

Теперь подставляем значение скорости в уравнение закона сохранения импульса (***):

υ₂ = υ₁/1,5 = 150/1,5 = 100 м/с

При взрыве происходит превращение внутренней энергии снаряда в кинетическую энергию его осколков:

U -> Ек

Ек = Ек₁ + Ек₂ = m₁υ₁²/2 + m₂υ₂²/2 = (m₁υ₁² + m₂υ₂²)/2 = (m₁υ₁² + 1,5*m₁*υ₂²)/2

Чтобы узнать m₁, запишем закон сохранения импульса следующим образом:

M = m₁ + m₂ => m₂ = M - m₁

(M - m₁)*υ₂ = m₁*υ₁

M*υ₂ - m₁*υ₂ = m₁*υ₁

M*υ₂ = m₁*υ₁ + m₁*υ₂

M*υ₂ = m₁*(υ₁ + υ₂)

m₁ = M*υ₂/(υ₁ + υ₂) = 5*100/(150 + 100) = 500/250 = 2 кг

Тогда:

Ек = (m₁υ₁² + 1,5*m₁*υ₂²)/2 = (2*150² + 1,5*2*100²)/2 = (2*150*150 + 2*150*100)/2 = 150*(2*150 + 2*100)/2 = 75*(300 + 200) = 75*500 = 37500 = 37,5 кДж

Ответ: 100 м/с; 37,5 кДж.