сколько существует троек натуральных чисел (a, b, c) образующих арифметическую прогрессию для которых числа ab+1, bc+1, ca+1 являются точными квадратами

Таких троек бесконечно много

Начнем:
 (  1;    8; 15 )
 ( 15;   8;   1 )
 ( 4;    30; 56 )
 (56;   30;   4 )  и так далее ... (Здесь мы не брали трехзначные числа...)


А вот и программа на PascalABC:

  var x, y, z : real;
begin
   for var a:=1 to 99 do
      for var b:=1 to 99 do
         for var c:=1 to 99 do
             begin 
                if b=(a+c)/2 then
                           begin
                              x:=sqrt(a*b+1);
                              y:=sqrt(b*c+1); 
                              z:=sqrt(c*a+1);   
                              if (int(x) = (x)) and (int(y) = (y)) and (int(z) = (z)) then                                                      WriteLn(a:4,b:4,c:4); 
                          end;
                end;
 end.

А вы не знаете, как товарищ в комментариях написал примерно такую же программу, а потом по результатам додумался до формул:

a=b div 2; b=a*2; c=(b-a)*2+a

Извините, я его программу НЕ ЧИТАЛ... А в задаче вопрос: "Сколько?" Ответ: "Бесконечно много!. "

О! Увидел... Я решил, что это задачка из раздела "Информатика" ... А здесь -
"Математика".. . Ухожу срочно в другой раздел... :))) (Не мои сани...)