Штучний супутник Землі обертається навколо планети на висоті, що становить 16% від радіусу планети, роблячи один оборот за 2 години. Прискорення вільного падіння поверхні планети дорівнює 4 м/с². Чому дорівнює радіус цієї планети?

Для знаходження радіуса планети використаємо формулу центростремительного прискорення для обертання об'єкта:

\[ a_c = \frac{v^2}{r} \]

де:

- \( a_c \) - центростремительне прискорення,

- \( v \) - швидкість обертання,

- \( r \) - радіус обертання.

Ми знаємо, що штучний супутник обертається на висоті, яка становить 16% від радіусу планети. Тобто, радіус супутника (\( r_{супутника} \)) буде \( 1.16 \) разів менший за радіус планети (\( r_{планети} \)):

\[ r_{супутника} = 0.16 \cdot r_{планети} \]

Також, швидкість обертання (\( v \)) можна знайти, використовуючи відомий час одного оберту:

\[ v = \frac{2\pi r_{супутника}}{T} \]

де \( T \) - час одного оберту.

Підставимо в першу формулу для центростремительного прискорення:

\[ a_c = \frac{\left( \frac{2\pi r_{супутника}}{T} \right)^2}{r_{супутника}} \]

Також, центростремительне прискорення можна виразити через прискорення вільного падіння:

\[ a_c = g \]

Підставимо вираз для центростремительного прискорення та вираз для радіусу супутника в систему рівнянь, щоб знайти \( r_{планети} \).