С подробным объяснением!

Частица начала двигаться из состояния покоя вдоль оси Х с ускорением a = 6*t (м/с^2). Определить, какой путь прошла частица за первые 5 с движения.

Дано:

а = 6t

t = 5 c

s(t) - ?

Решение:

Ускорение - это первая производная от скорости и вторая производная от координаты:

а = υ' = x''

Последовательно найдём выражение скорости и выражение координаты, учитывая то, что движение частицы происходит из состояния покоя, а её начальная координата равна нулю:

υ' = а = 6t = 3*2t = 3*(t²)' = 3'*t² + 3*(t²)' = u'v + uv' = (uv)' = (3t²)' => υ = 3t²

Скорость - это первая производная от координаты, тогда:

x' = υ = 3t² = 3*t^(3 - 1) = n*x^(n - 1) = (x^n)' = (t³)' => x = t³ => s = t³

Ну и за первые 5 секунд частица прошла:

s(t) = 5³ = 125 м

Ответ: 125 м.