!! Розв'язок бажано без коренів !!
У прямокутному трикутнику ABC кут С прямий, АС = 24 см, кут В вдвічі більший за кут А. Катет ВС продовжили за вершину В на відрізок ВМ так, що ВМ = АВ . Знайдіть AM.

Спочатку знайдемо кути трикутника. З оголошенням, що кут В вдвічі більший за кут А, маємо:

∠B = 2∠A

Також, оскільки кут С прямий, то маємо:

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Замінюючи ∠B з першого рівняння, отримаємо:

∠A + 2∠A + 90° = 180°

3∠A = 90°

∠A = 30°

Отже, маємо:

∠B = 2∠A = 60°

∠C = 90°

Далі, звернемо увагу на те, що трикутник ABC є прямокутним, тому за теоремою Піфагора маємо:

AB² + BC² = AC²

Але ми знаємо, що АС = 24, тому:

AB² + BC² = 24²

AB² + (AB + BM)² = 576 (оскільки BM = AB)

AB² + AB² + 2AB·BM + BM² = 576

2AB² + 2AB·BM + BM² = 576

AB² + AB·BM + AB·BM + BM² = 288

(AB + BM)² = 288

AB + BM = √288

AB + BM = 12√2

Але ми знаємо, що ∠B = 60°, тому у трикутнику ВМС маємо:

BC = BM + MC = BM + BC·tan(60°)

Але ми також знаємо, що ∠A = 30°, тому у трикутнику ABC маємо:

AB = AC·sin(30°) = 24/2 = 12

Таким чином:

BC = BM + BC·√3

BM = BC·(√3 - 1)

AB + BM = 12√2

12 + BC·(√3 - 1) = 12√2

BC·(√3 - 1) = 12√2 - 12

BC = (12√2 - 12)/(√3 - 1) ≈ 6,7

А тому:

AM = AB + BM = 12 + BC·(√3 - 1) ≈ 18,3

Отже, AM ≈ 18,3 см.