Розв’яжіть систему рівнянь: {х^2+3ху=18 3у^2+ху=6)

Розв'язок:

1. З одного з рівнянь можна виразити змінну y через x:

3y^2 + xu = 6

y^2 = (6 - xu) / 3

y = ± √((6 - xu) / 3)

2. Підставимо цей вираз для y в друге рівняння:

x^2 + 3xu = 18

3(6 - xu)/3 + x(±√((6 - xu) / 3)) = 18

3. Скоротимо чисельник і дістанемо х відносно ±√((6 - xu) / 3)) :

6 - xu + x(±√((6 - xu) / 3)) = 18

x(±√((6 - xu) / 3)) = 12 - 6 + xu

x(±√((6 - xu) / 3)) = 6 + xu

x^2(6 - xu) / 3 = (6 + xu)^2 / 3

x^2(6 - xu) = (6 + xu)^2

4. Розв'яжемо це рівняння відносно x:

6x^3 - 13x^2u + 6xu^2 - u^2 * 36 = 0

5. Знайдемо корені цього рівняння. Один з коренів - x = 0 - здебільшого очевидний, тому спробуємо розкласти поліном на добуток двох членів, один з яких - x = 0:

6x^3 - 13x^2u + 6xu^2 - u^2 * 36 = 0

6x(x^2 - u^2) - u^2(6x - 36) = 0

6x(x - u)(x + u) - 6u^2(x - 6) = 0

6(x - u)((x + u) - 6u) = 0

Отже, маємо два корені: x = u і x = 6u - u^2. Підставимо ці значення x у перше рівняння системи, щоб знайти відповідні значення y:

Для x = u:

x^2 + 3xu = 18

u^2 + 3u^2 = 18

4u^2 = 18

u = ± √(9/2)

Отже, маємо два розв'язки: (x, y) = (± √(9/2), ± √(3/2))