Алгебра, вопрос задал daha1223 , 8 лет назад

решите пожалуйста
В квадрате со стороной 5 см расположено 26 точек. Докажите, что среди них существуют две точки, расстояние между которыми не более √2 см.

Ответы на вопрос

Ответил Voxman

Разобьём квадрат со стороной 5 см на 25 квадратов со стороной 1 см. Будем рассматривать их как контейнеры. Точка попадает в контейнер, если она лежит либо на его сторонах, либо во внутренней области. Тогда, по принципу Дирихле, хотя бы в одном из контейнеров окажется две точки. [Некоторые точки могут попасть сразу в четыре контейнера (если такая точка упадёт на вершину квадрата, которая не лежит на стороне исходного квадрата), но для нас важно, что любая точка с необходимостью попадает хотя бы в один.]
Итак, в одном из контейнеров содержится две точки. Вспомним, что наш контейнер не что иное, как квадрат со стороной в 1 см.
Покажем, что расстояние между двумя точками квадрата со стороной в 1 см не превышает √2. Рассмотрим квадрат ABCD (рис.1) со стороной равной 1 см и две произвольные точки, которые лежат на квадрате.

$displaystyle z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2)\\ d(z_1, z_2) = sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\\ 0 leq x_1 leq 1, 0 leq x_2 leq 1, 0 leq y_1 leq 1, 0 leq y_2 leq 1\\ - 1 leq x_1 - x_2 leq 1, - 1 leq y_1 - y_2 leq 1\\ 0 leq (x_1 - x_2)^2 leq 1, 0 leq (y_1 - y_2)^2 leq 1\\ 0 leq (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 leq 1 + 1 = 2\\ 0 leq sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} leq sqrt{2}$

Что и требовалось доказать.

Приложения: