Алгебра, вопрос задал Cef1rka , 6 лет назад

Решить систему уравнений

Приложения:

Ответы на вопрос

Ответил Vopoxov

Ответ:

(8; 4)

Объяснение:

$\small \begin{cases} {3} \large{^{ \frac{x - y}{2} }} \small{+ {3}} \large{^{ \frac{x - y}{4} }} \small = 12 \\ {x}^{2} + 2 {y}^{2} = 3xy \: \: \: \: \: \Big| \small: {y}^{2} \neq0 \\ \end{cases} \\ \small \begin{cases} {3} \large{^{ \frac{x - y}{2} }} + \small {3} \large{^{ \frac{x - y}{4} }}\small = 12 \\ \large\tfrac{ {x}^{2} }{ {y}^{2} } \small+ 2 \large\frac{ {y}^{2} }{ {y}^{2} } \small = 3\large\frac{x {y}}{ {y}^{2} }\\ \end{cases}{ < = > }\begin{cases} {3} \large{^{ \frac{x - y}{2} }} + \small {3} \large{^{ \frac{x - y}{4} }} \small = 12 \\ \left(\large\tfrac{ {x}}{ {y} } \right)^{2} \small+ 2 \cdot1 \small = 3 \left(\large\tfrac{ {x}}{ {y} } \right) \\ \end{cases}$

Рассмотрим нижнее уравнение:

$\left(\large\tfrac{ {x}}{ {y} } \right)^{2} \small+ 2 \cdot1 \small = 3 \left(\large\tfrac{ {x}}{ {y} } \right) \\$

Замена переменной:

$\small \: t=\large \left(\tfrac{ {x}}{ {y} } \right) \: \: = > \: \:\large \left(\tfrac{ {x}}{ {y} } \right)^{2} \small= {t}^{2} \\$

${t}^{2} + 2 = 3t \\ {t}^{2} - 3t + 2 = 0$

По Т. Виета:

$(t - 1) (t -3 ) = 0 \: \: \: = > \\ = > \left[ \begin{array} {l}t_{1}= 1 \\ t_{2} = 2 \end{array} \right.\\$

Обратная замена:

$\small \left[ \begin{array} {l}t= 1 \\ t = 2 \end{array} \right. \: = > \left[ \begin{array} {c} \large\frac{x}{y} \small= 1 \: \: \: \: \\ \large\frac{x}{y} \small = 2 \end{array} \right.\\$

Подстановка в начальную систему

$\small \begin{cases} {3} \large{^{ \frac{x - y}{2} }} \small{+ {3}} \large{^{ \frac{x - y}{4} }} \small = 12 \\ \left[ \begin{array} {c} \large\frac{x}{y} \small= 1 \: \: \: \: \\ \large\frac{x}{y} \small = 2 \end{array} \right. \end{cases} \\ \small \left[ \begin{array} {c} \begin{cases} {3} \large{^{ \frac{x - y}{2} }} \small{+ {3}} \large{^{ \frac{x - y}{4} }} \small = 12 \\ {x} = {y} \end{cases} \: \qquad\qquad(1.1) \\ \begin{cases} {3} \large{^{ \frac{x - y}{2} }} \small{+ {3}} \large{^{ \frac{x - y}{4} }} \small = 12 \\ {x} = 2{y} \end{cases} \: \qquad\qquad(1.2) \: \end{array} \right. \\$

Решим (1.1)

$\begin{cases} {3} \large{^{ \frac{x - y}{2} }} \small{+ {3}} \large{^{ \frac{x - y}{4} }} \small = 12 \\ {x} = {y} \end{cases} < = > \begin{cases} {3} \large{^{ \frac{x - x}{2} }} \small{+ {3}} \large{^{ \frac{x - x}{4} }} \small = 12 \\ {y} = x \end{cases} \: \: \\ \\ {3}^{0} {+} {3}^{0} = 1{ + }1 = 2 \neq12 \: \: \forall \: x \: \: = > \: x \in \: \cancel{o}$

Решим (1.2)

$\begin{cases} {3} \large{^{ \frac{x - y}{2} }} \small{+ {3}} \large{^{ \frac{x - y}{4} }} \small = 12 \\ {x} = 2{y} \end{cases} < = > \begin{cases} {3} \large{^{ \frac{x - 0.5x}{2} }} \small{+ {3}} \large{^{ \frac{x - 0.5x}{4} }} \small = 12 \\ {y} = 0.5x \end{cases} \: \: \\ {3} \large{^{ \frac{x - 0.5x}{2} }} \small{+ {3}} \large{^{ \frac{x - 0.5x}{4} }} \small= 12 \: \: < = > \: \: {3} \large^{ \frac{x}{4} } + \small {3} \large^{ \frac{x}{8} } \small = 12\\ \\ \small t = {3} \large^{ \frac{x}{8} } \small > 0 \: \: = > \: \small {3} \large^{ \frac{x}{4} } \small = {t}^{2} > 0 \\ {t}^{2} + t = 12 \\ {t}^{2} + t - 12 = 0$

По Т. Виетта:

$(t + 4)(t - 3) = 0 \: \: = > \\ = > \: \left[ \begin{array} {l}t= - 4 \: \: \: \: \: \: \: \small(2.1) \\ t = 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \small(2.2) \end{array} \right.\\$