Математика, вопрос задал mfayrt , 4 месяца назад

Решить линейное уравнение первого порядка, найти общее решение: x`+x=sint.
Если можно пожалуйста расписанное полностью решение.

Ответы на вопрос

Ответил Artem112

0

Ответ:

$x=\dfrac{1}{2} (\sin t-\cos t)+\dfrac{C}{e^t}$

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим уравнение:

$x'+x=\sin t$

Решение уравнения будем искать в виде произведения двух ненулевых функций:

$x(t)=u(t)\cdot v(t)$

Тогда:

$(uv)'+uv=\sin t$

$u'v+uv'+uv=\sin t$

Предположим, что сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна нулю:

$u'v+uv=0$

Разделим обе части уравнения на $v\neq 0$ :

$u'+u=0$

$\dfrac{du}{dt} =-u$

$\dfrac{du}{u} =-dt$

$\displaystyle \int \dfrac{du}{u} =\int \left(-dt\right)$

$\ln u =-t$

$u=e^{-t}$

$\underline{u=\dfrac{1}{e^t} }$

Тогда, второе слагаемое в левой части равно правой части:

$uv'=\sin t$

$\dfrac{1}{e^t}\cdot \dfrac{dv}{dt} =\sin t$

$dv =e^t\sin t\, dt$

$\displaystyle \int dv =\int e^t\sin t\, dt$

Отдельно найдем интеграл в правой части. Дважды применим интегрирование по частям:

$\mathrm{I}=\displaystyle \int e^t\sin t\, dt=\left < \begin{array}{l}\mathrm{U}=\sin t ;\ d\mathrm{U}=\cos t\, dt\\d\mathrm{V}=e^t\, dt;\ \mathrm{V}=e^t\end{array}\right > =e^t\sin t-\int e^t\cos t\, dt=$

$\displaystyle =\left < \begin{array}{l}\mathrm{U}=\cos t ;\ d\mathrm{U}=-\sin t\, dt\\d\mathrm{V}=e^t\, dt;\ \mathrm{V}=e^t\end{array}\right > =e^t\sin t-\left(e^t\cos t-\int e^t\left(-\sin t\, dt\right)\right)=$

$\displaystyle =e^t\sin t-e^t\cos t-\int e^t\sin t\, dt=e^t(\sin t-\cos t)-\mathrm{I}$

Получили уравнение относительно искомого интеграла:

$\mathrm{I}=e^t(\sin t-\cos t)-\mathrm{I}$

$2\,\mathrm{I}=e^t(\sin t-\cos t)$

С учетом произвольной константы:

$\mathrm{I}=\dfrac{1}{2} e^t(\sin t-\cos t)+C$

Следовательно:

$\underline{v =\dfrac{1}{2} e^t(\sin t-\cos t)+C}$

Тогда, искомая функция:

$x=uv=\dfrac{1}{e^t}\cdot \left(\dfrac{1}{2} e^t(\sin t-\cos t)+C\right)$

$\boxed{x=\dfrac{1}{2} (\sin t-\cos t)+\dfrac{C}{e^t}}$

Элементы теории:

Формула интегрирования по частям:

$\displaystyle \int \mathrm{U}\, d\mathrm{V}=\mathrm{UV}-\int \mathrm{V}\, d\mathrm{U}$

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Новые вопросы

Английский язык, 3 месяца назад

ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ!! Reading Test Form 7 Robin Hood The story of Robin Hood, the most popular English folk hero of all times, has reached every corner of the Earth. There are many versions of this...

История, 3 месяца назад

Встановіть відповідність А) Нікколо Макіавеллі 1) Алегорія часу Б) Рафаель Санті 2) Портрет Мони Лізи В) Леонардо да Вінчі 3) Давид Г) Мікеланджело Буонарроті. 4) Сикстинська мадонна 5)...

Математика, 4 месяца назад

3. Сложите дроби 5 класс матем...

Физика, 4 месяца назад

Вес тела в воде 5Н, а в воздухе 6Н. Определите плотность тела?

Математика, 6 лет назад

Помогите ДАЮ 20 БАЛОВ...

Русский язык, 6 лет назад

в данный отрывок взят из главы четвёртой, которая называется «Что по- сол рассказал о Чингиз-хане» (ч. 4). К ней в качестве эпиграфа дана вос- точная пословица: «Не надо говорить плохо ни про кого в...