Алгебра, вопрос задал Kheda , 9 лет назад

Решить дифференциальные уравнения с разделяющими переменными и задачу Коши

$(xy^{2} - y^{2}) dx - (x^{2}y + x^{2})dy=0$

Ответы на вопрос

Ответил math89

Разделим все на dx получим $-frac{dy}{dx}(x^2y+x^2)=-(xy^2-y^2)$

Сделаем так чтобы в левой части осталось только dy/dx

Получим

$frac{dy}{dx}=frac{xy^2-y^2}{x^2y+x^2}=frac{y^2}{y+1}frac{x-1}{x^2}$

Теперь умножим все на $frac{y+1}{y^2}$ получаем:

$frac{y+1}{y^2}dy=frac{x-1}{x^2}dx$

Возьмем интеграл от левой и правой части

$int{frac{y+1}{y^2}}dy=int{frac{x-1}{x^2}}dx$

Находим значения интегралов получаем:

$ln(y)-frac{1}{y}+C=ln(x)+frac{1}{x}+C^1$ Можно объеденить С и С1 в одну константу, назовем ее С.

Этого я думаю достаточно. Чтобы решить задачу Коши нужны начальные условия, к сожалению здесь они не предоставлены. Поэтому попытаемся решить задачу Коши для произвольных начальных условий

y(a)=b , где a,b-константы

найдем сразу ln(y(a))=ln(b) и подставим все в уравнение

получим $ln(b)-frac{1}{b}=ln(a)+frac{1}{a}+C$

Отсюда

$C=ln(b)-frac{1}{b}-ln(a)-frac{1}{a}$

Т.е решеним задачи Коши для произвольных a и b, которые конечно должны принадлежать области определения функций указанных в общем решении уравнения (очевидно, что а и b не равны 0, т.к деление на ноль недопустимо и в общем то говоря а и b>0, если мы конечно не рассматриваем случая когда логарифмическая функция продолжается на комплексное пространство) будет: $ln(y)-frac{1}{y}=ln(x)+frac{1}{x}+(ln(b)-frac{1}{b}-ln(a)-frac{1}{a})$

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Новые вопросы

Математика, 6 лет назад

Випиши назви многогранників серед поданих назв геометричних фігур: круг, піраміда, циліндр, прямокутний паралелепіпед, конус, квадрат, куб.

Алгебра, 6 лет назад

Решите пожалуйста как вычислить под корень 49×25;2) ПОД КОРЕНЬ 0,01×169;3) ПОД КОРЕЕЬ625×9×36 4) ПОД КОРЕНЬ 256×0,25×81...

Информатика, 9 лет назад

Дано трехзначное число. В нем зачеркнули первую слева цифру и приписали ее справа. Вывести полученное число. нужно написать прогу в pascal abc...

Информатика, 9 лет назад

Некая студентка решила поучаствовать в кастинге конкурса «Мисс Очарование». Для этого она решила сесть на специальную диету. Начальный ее вес составляет N0 кг. Через неделю ее вес стал равен N1 кг, а...

Алгебра, 10 лет назад

Алгебра 8 класс: Сократите дробь: х**-5 /х**-(3-под корнем5)х+3под корнем пять. Если так не понятно смотрите на файл.

История, 10 лет назад

Линии сравнения Владимиро-Суздальское 1.Географическое положение ...