Алгебра, вопрос задал ZakonFiziki , 8 лет назад

Решить дифференциальное уравнение:

xy'+y-eˣ=0

Ответы на вопрос

Ответил Аноним
0
Разделим обе части уравнения на х
y'+ dfrac{y}{x} = dfrac{e^x}{x}
Это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, неоднородное.
Пусть y=uv, тогда y'=u'v+uv'

u'v+uv'+ dfrac{uv}{x} = dfrac{e^x}{x} \ \ \ u'v+ubigg(v'+ dfrac{v}{x}bigg) =dfrac{e^x}{x}
Решение состоит из двух этапов:
1) Предполагаем, что второе слагаемое равен нулю
v'+ dfrac{v}{x} =0\ \ v'=- dfrac{v}{x}
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
По определению дифференциала
 dfrac{dv}{dx} =- dfrac{v}{x} \ \ dfrac{dv}{v} =-dfrac{dx}{x}
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
displaystyle intlimits {dfrac{dv}{v} } ,=- intlimits {dfrac{dx}{x} } , \ \ ln|v|=-ln|x|\ v= frac{1}{x}

2) Раз предположили что второе слагаемое = 0, то

displaystyle u'v= frac{e^x}{x} \ \ u'cdot frac{1}{x}=frac{e^x}{x}\ \ \ u'=e^x
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
displaystyle u= intlimits {e^x} , dx =e^x+C

Выполним обратную замену:

y=uv=dfrac{e^x+C}{x} - общее решение исходного уравнения


Ответ: y=dfrac{e^x+C}{x}
Предыдущий вопрос
Следующий вопрос
Новые вопросы
Английский язык, 2 года назад
помогите пожалуйста, Срочно ​...
Математика, 2 года назад
Значение выражения (7 1/2+2 1/3)⋅3 равно...
Алгебра, 8 лет назад
решите пожалуйста срочно очень надо уравнения! Решите пожалуйста уравнения 2х^2-7=3=0 5х^2-3x-2=0 х^2=3+1=0...
История, 8 лет назад
Ох,упущенные параграфы по истории. Прошу вашей помощи. В связи с какими событиями Кукрыниксы нарисовали карикатуру? ("Потеряла я колечко,а в колечке 22 дивизии!") Кто такие Кукрыниксы? Заранее...
Обществознание, 9 лет назад
Для реализации человеком своих фундаментальных (естественных) прав необходимо: а)быть гражданином б)родиться в)обладать качествами личности г)быть дееспособным...
Математика, 9 лет назад
Записать пример на сложение и два примера на вычитание,используя числа 3,8,5.