Геометрия, вопрос задал ggoosshhaa6 , 7 лет назад

Ребро правильного тетраэдра равно корню 6 . Найдите радиус шара Вписанный в данный тетраэдр

Ответы на вопрос

Ответил Hrisula

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на её высоте.

Формула радиуса вписанной окружности для тетраэдра

$r= frac{a}{2 sqrt{6} }$

По этой формуле $r= frac{ sqrt{6} }{2 sqrt{6} } = frac{1}{2} =0,5$

Подробное решение.(см. рисунок вложения)

Обозначим пирамиду SABC, SH - высота пирамиды, SM - апофема.

ОН и ОК - радиусы вписанного шара,

Проведем сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды. При этом сечение шара будет вписанной в угол SМA окружностью.

∆ SHM прямоугольный. НМ - радиус окружности, вписанной в основание АВС пирамиды.

НМ=АМ:3 ( радиус вписанной в правильный треугольник окружности),

Так как тетраэдр правильный и, все его грани - правильные треугольники, их апофемы равны высоте правильного треугольника со стороной √6.

SM=AM=√6•√3/2= $frac{3 sqrt{2} }{2}$