Радіус конуса 5 см, висота його 12 см. Знайти площу осьового перерізу конуса,

довжину твірної та кут нахилу її до площини основи.​

Для початку, знайдемо площу осьового перерізу конуса. Осьовий переріз конуса - це коло, яке утворюється, якщо відсікати конус паралельно до його основи.

Площа кола може бути обчислена за формулою \(S = \pi r^2\), де \(r\) - радіус кола.

Отже, площа осьового перерізу конуса дорівнює площі кола з радіусом, рівним радіусу основи конуса:
\[S = \pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78.54 \, \text{см}^2.\]

Тепер, щоб знайти довжину твірної, можна скористатися теоремою Піфагора в правильному трикутнику, утвореному радіусом, висотою конуса та його твірною.

Довжина твірної \(l\) може бути обчислена за формулою \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\), де \(r\) - радіус основи, \(h\) - висота конуса.

\[l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, \text{см}.\]

На останню частину питання щодо кута нахилу твірної до площини основи: кут нахилу твірної до площини основи конуса можна знайти за формулою \(\tan{\alpha} = \frac{r}{h}\), де \(r\) - радіус основи, \(h\) - висота конуса.

\[ \tan{\alpha} = \frac{5}{12} \]
\[ \alpha = \arctan{\left(\frac{5}{12}\right)} \]
\[ \alpha \approx 22.62^\circ \]

Таким чином, площа осьового перерізу конуса - приблизно \(78.54 \, \text{см}^2\), довжина твірної - \(13 \, \text{см}\), а кут нахилу твірної до площини основи - приблизно \(22.62^\circ\).