Пусть X — непустое множество, а T_1, T_2 — две топологии на X где T_1 \subset T_2, такие что X снабжены этими топологии представляет собой компактное хаусдорфово пространство. Докажите, что T_1 = T_2

Сначала мы покажем, что любая непрерывная биекция из компакта в пространство является гомеоморфизмом. Достаточно показать, что замкнут. Это просто: пусть замкнуто. Тогда компактно, следовательно, компактно. А компакты в пространстве замкнуты. Теперь рассмотрим тождественное отображение . Оно непрерывно, поскольку , и отсюда следует результат