Прямая a параллельна плоскости α. Через прямую a проведена плоскость β, пересекающая плоскость α по прямой b. В плоскости α существует прямая c, которая параллельна a. Докажите, что b параллельна c.

т.к а параллельна альфа, значит она параллельна прямой пересечения этих двух плоскостей, т.е. а параллельна в

                          а параллельна с   по условию, по свойству транзитивности

в параллельна а параллельна с

получаем в параллельна с

Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Это свойство называется транзитивностью параллельности прямых.

------------------------------------------

Дано: а параллельна α.
Через прямую а проведена плоскость β, пересекающая плоскость α по прямой b.

Прямая b пересечения плоскостей α и β параллельна прямой а, так
как в противном случае прямая а пересекала бы плоскость α.
Если две прямые (b и с) параллельны третьей (а), то они параллельны друг другу.