Математика, вопрос задал MolkyWay , 6 лет назад

ПРОШУ ПОМОГИТЕ!!!! Я НЕ ПОНИМАЮ!!!(((

Приложения:

Ответы на вопрос

Ответил pushpull

Ответ:

Пошаговое объяснение:

область сходимости степенного ряда определяется величиной радиуса сходимости R (при условии R >0)- это интервал (-R; R), где $\displaystyle R= \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}$ , на границах интервала сходимость ряда исследуется отдельно

все наши ряды имеют вид $\displaystyle \sum \limits_{n=1}^\infty a_n*x^n$ , мы работаем с аₙ

итак, поехали

вычислим радиус сходимости

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \bigg (\frac{3^n}{n^{3/2}} :\frac{3^{n+1}}{(n+1)^{3/2}+1} \bigg )= \lim_{n \to \infty} \frac{3^n((n+1)^{3/2}+1)}{3^{n+1}(n^{3/2}+1)} =\frac{1}{3}$

тогда ряд является абсолютно сходящимся при х ∈ (-1/3;1/3)

теперь исследуем поведение ряда на концах интервала

а) точка x = -1/3 подставим x = -1/3 в наш ряд, получим числовой ряд

$\displaystyle \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{3^n*(-1/3)^n}{n^{3/2}+1} = \sum \limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^{3/2}+1}$

'это у нас знакочередующийся ряд. исследуем его по признаку Лейбница

-- по первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, для нашего ряда возьмем первые три члена ряда - это условие выполняется

$\displaystyle \frac{1}{2} >\frac{1}{1+2\sqrt{2} } > \frac{1}{1+3\sqrt{3} }$

-- по второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0. тоже у нас выполняется

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3/2}+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3/2}} =0$

чтобы говорить об абсолютной или условной сходимости, необходимо исследовать ряд по одному из признаков сходимости рядов. мы применим сравнительный признак

как уже упрощали выше, у нас получился обобщенный гармонический ряд с α> 1 $\displaystyle \bigg ( \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{3/2}} \bigg )$ , он сходится, значит и наш числовой ряд сходится абсолютно, а из этого следует, что наш исходный ряд в точке х= -1/3 сходится.

б) точка х = 1/3. подставим в исходный ряд, получим числовой ряд

$\displaystyle \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{3^n*(1/3)^n}{n^{3/2}+1} = \sum \limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{3/2}+1}$ - это обычный числовой ряд. его надо исследовать на сходимости при помощи признака сходимости ряда - мы используем сравнительный признак. это мы уже проделывали выше, получали обобщенный гармонический ряд с α> 1, отсюда вывод - и наш числовой ряд сходится абсолютно, а из этого следует, что наш исходный ряд в точке х= 1/3 сходится.

ответ

таким образом мы установили, что исходный степенной ряд является сходящимся при x ∈ [-1/3; 1/3]

2) найдем радиус сходимости ряда

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\bigg (\frac{n!}{5^{n+1}} :\frac{(n+1)!}{5^{n+2}} \bigg )= \lim_{n \to \infty} \frac{n!*5^2*5^n}{5*5^n*n!*(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n+1} =0$

ответ

степенной ряд сходится абсолютно при x=0

считаем радиус сходимости

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg (\frac{n^3}{10^n} :\frac{(n+1)^3}{10^{n+1}} \bigg )= \lim_{n \to \infty} \frac{10*10^n*n^3}{10^n*(n+1)^3} =10$

теперь найдем х₁ =3-10 = -7 х₂ =3+10 =13

тогда ряд сходится абсолютно при x ∈ (-7;13)

теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала

а) точка х = -7 подставим, получим числовой ряд $\displaystyle \sum \frac{n^3}{10^n}((-7)-3)^n=\sum (-1)^n*n^3$

это знакочередующийся ряд. и у него не выполняется первый признак Лейбница 1 < 8 < 27 - этот ряд расходится. значит и наш степенной ряд в точке х=-7 расходится

б) точка х = 13 подставим и получим числовой ряд $\displaystyle \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{n^3}{10^n}(13-3)^n=\sum \limits_{n=1}^\infty n^3$

это у нас положительный ряд и по сравнительному признаку он расходится (n³ = 1/n⁻³ α <1), а это значит, что и наш степенной ряд в точке х=13 расходится

ответ

степенной ряд сходится при x∈ (-7;13)

3) посчитаем радиус сходимости

$\displaystyle R= \lim_{n \to \infty} \bigg (\frac{(-1)^n}{n^4-1} :\frac{(-1)*(-1)^n}{(n+1)^4-1} \bigg )= \lim_{n \to \infty} \frac{1-(n+1)^4}{n^4-1} =-1$