прочитал в продолжениЕ или продолжениИ рассказа?

это зависит от предложения 
если такое -в продолжении рассказа автор употреблял различные сравнительные обороты - тогда пишем "И" ,потому что здесь "в продолжении" -имя существительное
если такое -в продолжение рассказа хозяин несколько раз подходил к телефону -тогда "Е",потому что это предлог и его можно заменить другим предлогом-" во время ",то есть во время рассказа