При якому найменшому значенні a рівняння
![\sqrt{x - 2 + 2 \sqrt{x - 3} } + (14 - 2a) \times \sqrt[4]{x - 3} + 32 = 6a](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7Bx+-+2+%2B+2+%5Csqrt%7Bx+-+3%7D++%7D++%2B+%2814+-+2a%29+%5Ctimes++%5Csqrt%5B4%5D%7Bx+-+3%7D+++%2B+32+%3D+6a "\sqrt{x - 2 + 2 \sqrt{x - 3} } + (14 - 2a) \times \sqrt[4]{x - 3} + 32 = 6a")
має хоча б один корінь?
Ответы на вопрос
Ответ:
a = 5.5
Объяснение:
Сделаем замену:
Из дискриминанта становится очевидно, что уравнение относительно t имеет как мининмум одно решение при любых значениях a.
Однако нам удовлетворяют только положительные значения t, поэтому мы рассмотрим два случая:
1) D = 0, где t >= 0
2) D > 0, где t₁ >= 0, t₂ < 0
Мы видим, что при D = 0 уравнение имеет единственный корень t = -3, но он не удовлетворяет изначальному уравнению, поэтому этот случай отбрасываем.
При D > 0 уравнение всегда имеет 2 корня, при чем один из корней при любых значениях a равен -3. А значит, чтобы исходное уравнение имело хотя бы один корень, нам нужно, чтобы первый корень t₁ = 2a - 11 был больше или равен 0. Так как по условию нам нужно найти минимальное значение a, то будем считать, что t₁ = 0:
2a - 11 = 0
a = 5.5