Геометрия, вопрос задал blindeye21 , 6 лет назад

при каком значении α векторы а(-1;4;α) b=(5;-1;2) образуют тупой угол​

Simba2017: если скалярное произведение их меньше 0
Simba2017: -5-4+2a<0; a<4.5

Ответы на вопрос

Ответил mathkot
0

Ответ:

\boxed{\alpha \in (-\infty;4,5)}

Объяснение:

Вектора:

\overrightarrow{a} (-1;4;\alpha )

\overrightarrow{b} (5;-1;2 )

Модули векторов:

|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}} = \sqrt{(-1)^{2} + 4^{2} +\alpha ^{2}} = \sqrt{ 1 + 16 + \alpha ^2}} = \sqrt{17 + \alpha ^{2}}

|\overrightarrow{b}| = \sqrt{x_{b}^{2}+y_{b}^{2}+z_{b}^{2}} = \sqrt{(5)^{2} + (-1)^{2} +2^{2}} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}

Скалярное произведение векторов:

\displaystyle \left \{ {{ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) } \atop { \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b} + y_{a}y_{b} }} \right \Longrightarrow \cos(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}} { | \overrightarrow{a} | \cdot | \overrightarrow{b} |}

\boxed{ \cos(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}} { | \overrightarrow{a} | \cdot | \overrightarrow{b} |} = \dfrac{x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b} + y_{a}y_{b}} { | \overrightarrow{a} | \cdot | \overrightarrow{b} |} }

\cos(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \dfrac{-1 \cdot 5 + 4 \cdot (-1) + 2\cdot \alpha }{\sqrt{30} \cdot \sqrt{17 + \alpha ^{2}} } = \dfrac{-5 -4 + 2\cdot \alpha }{\sqrt{30} \cdot \sqrt{17 + \alpha ^{2}} } = \dfrac{2\alpha - 9}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{17 + \alpha ^{2}} }

Векторы образуют тупой угол когда косинус угла между ними меньше нуля.

\cos(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) &lt; 0

\dfrac{2\alpha - 9}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{17 + \alpha ^{2}} } &lt; 0

Подкоренное выражение с α² всегда больше нуля поэтому при решении неравенств на множестве отрицательных чисел это выражение не играет никакой роли.

2\alpha - 9 &lt; 0

2\alpha &lt; 9|:2

\alpha &lt; 4,5

\alpha \in (-\infty;4,5)

Simba2017: скалярное произведение в координатах не короче?
mathkot: Вы правы, но через косинус возможно более понятно как это все получается. Честно, говоря совершенно не подумал о том как решали Вы. Нужно было сразу писать скалярное произведение через координаты и все. Хотя, мне кажется, что мой способ решение так же может существовать.
Предыдущий вопрос
Следующий вопрос
Новые вопросы
Математика, 1 год назад
уравнение (x-27)×5=350...
Русский язык, 1 год назад
С неба вдруг посыпалась снежная крупа. полный синтетический разбор...
Физика, 6 лет назад
Рассмотри рисунок. Все изображенные на нем ключи разомкнуты. Продолжи предложение.
Английский язык, 6 лет назад
Чем отличается отличается в английском языке pm от am?
Литература, 8 лет назад
Отзыв по произведению Мертвые души. Гоголь...
Математика, 8 лет назад
Найди значения выражений...