Пожалуйста.Вычеслить неопределенный интеграл dx/(5*cos(x)+3)

есть примерное решение, но откуда dt такое взялось непонятно. Если считать производную от t, то dt=1/(cos(x/2)в квадрате)

Производная f(t) от ф-ции x=F(t) как обозначается?

F'(t)=dx/dt=f(t) -> dx/dt=f(t) -> dx=f(t)dt -> dx=F'(t)dt

Вот так это dt и появляется.

А вот тебе полное решение:

integral 1/(5 cos(x)+3) dx

t = tg(x/2), dt = 1/2 sc^2(x/2) dx. sin(x) = (2t)/(t^2+1), cos(x) = (1-t^2)/(t^2+1) и dx = (2dt)/(t^2+1):

= integral 2/((t^2+1)((5(1-t^2))/(t^2+1)+3)) dt

Упростим 2/((t^2+1)((5(1-t^2))/(t^2+1)+3)),

получим 1/(4-t^2):

= integral 1/(4-t^2) dt = integral 1/(4(1-t^2/4)) dt = 1/4 integral 1/(1-t^2/4) dt

Для интегрирования 1/(1-t^2/4), сделаем еще одну подстановку:

s = t/2 and ds = 1/2 dt:

= 1/2 integral 1/(1-s^2) ds

Интеграл от 1/(1-s^2) равен arcth(s): = 1/2 arcth(s)+C

Вернемся к подстановке s = t/2:

= 1/2arcth(u/2)+С

Вернемся к подстановке t = tg(x/2):

1/2 arccth(2 ctg(x/2))+C= 1/4 (lg(sin(x/2)+2 cos(x/2))-lg(2 cos(x/2)-sin(x/2)))+C

  Только мне интересно, где это такие страшные интегралы заставляют брать?

В решении есть небольшие ошибки...

Пояснение насчет подстановок:

По формуле двойного угла:

Теперь загоняем все в интеграл

Далее вместо t подставляем тангенс половинного угла (из подстановки) и получаем окончательный ответ.

PS Ответ какой-то не очень красивый... если в условии поменять 3 и 5 местами, то ответ будет намного красивее, т.к. вместо логарифма появится arctg, который очень кстати будет для подстановки ;)