ПОМОЖІТЬ ПЖПЖПЖПЖПЖЖП​

Ответ:

Завдання 1

[\frac{4^{n+9}-4^{n+1}}{15}]

Розкладемо числа в степені 4 на прості множники:

[4^{n+9} = (2^2)^{n+9} = 2^{2n+18}]

[4^{n+1} = (2^2)^{n+1} = 2^{2n+2}]

Тоді дріб можна перетворити так:

[\frac{2^{2n+18}-2^{2n+2}}{15} = \frac{2^{2n+2}(2^{16}-1)}{15}]

Найвищий спільний дільник чисел 2^{2n+2} і 15 дорівнює 3. Тому дріб можна скоротити на 3:

[\frac{2^{2n+2}(2^{16}-1)}{15} = \frac{2^{2n+2}}{5}\cdot\frac{2^{16}-1}{5}]

Дріб 2^{16}-1 можна скоротити на 1, оскільки 16 і 1 - взаємно прості числа. Тому отримаємо:

[\frac{2^{2n+2}}{5}\cdot\frac{2^{16}-1}{5} = \frac{2^{2n+2}}{5}\cdot 1 = \frac{2^{2n+2}}{5}]

Отже, відповідь:

[\frac{4^{n+9}-4^{n+1}}{15} = \frac{2^{2n+2}}{5}]

Завдання 2

[\frac{x^{8}+x^{14}}{x^{2}+x^{-4}}]

Розкладемо числа в степені x на прості множники:

[x^{8} = (x^2)^4 = x^{2\cdot4}]

[x^{14} = (x^2)^7 = x^{2\cdot7}]

[x^{2} = (x^2)^1 = x^{2\cdot1}]

[x^{-4} = \frac{1}{x^4} = \frac{(x^2)^2}{(x^2)^2} = x^{2\cdot-2}]

Тоді дріб можна перетворити так:

[\frac{x^{8}+x^{14}}{x^{2}+x^{-4}} = \frac{x^{2\cdot4}+x^{2\cdot7}}{x^{2\cdot1}+x^{2\cdot-2}}]

Застосуємо властивість дробу:

[\frac{x^{2\cdot4}+x^{2\cdot7}}{x^{2\cdot1}+x^{2\cdot-2}} = \frac{x^{2\cdot4}}{x^{2\cdot1}} + \frac{x^{2\cdot7}}{x^{2\cdot-2}}]

[ = \frac{x^4}{x} + \frac{x^{14}}{x^{-2}}]

[ = x^3 + x^{12}]

Отже, відповідь:

[\frac{x^{8}+x^{14}}{x^{2}+x^{-4}} = x^3 + x^{12}]

Объяснение: