Алгебра, вопрос задал dovnara620 , 6 лет назад

помогите решить
sin(6arcctg(-√3)+4arctg√5)​

Ответы на вопрос

Ответил Artem112
0

Формулы синуса и косинуса двойного угла:

\sin2\alpha =2\sin\alpha \cos\alpha

\cos2\alpha =2\cos^2\alpha -1

Воспользовавшись этими формулами и свойствами функции синуса, получим:

\sin(6\,\mathrm{arcctg}(-\sqrt{3} )+4\,\mathrm{arctg}\sqrt{5})=\sin\left(6\cdot\dfrac{5\pi }{6}+4\,\mathrm{arctg}\sqrt{5}\right)=

=\sin(5\pi+4\,\mathrm{arctg}\sqrt{5})=\sin(\pi+4\,\mathrm{arctg}\sqrt{5})=-\sin(4\,\mathrm{arctg}\sqrt{5})=

=-2\sin(2\,\mathrm{arctg}\sqrt{5})\cos(2\,\mathrm{arctg}\sqrt{5})=

=-2\cdot2\sin(\mathrm{arctg}\sqrt{5})\cos(\mathrm{arctg}\sqrt{5})\cdot\left(2\cos^2(\mathrm{arctg}\sqrt{5})-1\right)=

=-4\sin(\mathrm{arctg}\sqrt{5})\cos(\mathrm{arctg}\sqrt{5})\cdot\left(2\cos^2(\mathrm{arctg}\sqrt{5})-1\right)\boxed{=}

Найдем синус и косинус числа \mathrm{arctg}\sqrt{5} по формулам:

\sin(\mathrm{arctg}\,\alpha )=\dfrac{\alpha }{\sqrt{1+\alpha ^2} }

\cos(\mathrm{arctg}\,\alpha )=\dfrac{1}{\sqrt{1+\alpha ^2} }

Получим:

\sin(\mathrm{arctg}\,\sqrt{5} )=\dfrac{\sqrt{5} }{\sqrt{1+5} }=\dfrac{\sqrt{5} }{\sqrt{6} }=\sqrt{\dfrac{5}{6} }

\cos(\mathrm{arctg}\,\sqrt{5} )=\dfrac{1}{\sqrt{1+5} }=\dfrac{1}{\sqrt{6} }=\sqrt{\dfrac{1}{6} }

Подставим найденные значения:

\boxed{=}-4\cdot \sqrt{\dfrac{5}{6}}\cdot \sqrt{\dfrac{1}{6}}\cdot\left(2\cdot\left(\sqrt{\dfrac{1}{6}}\right)^2-1\right)=-\dfrac{4\sqrt{5} }{6} \cdot \left(2\cdot\dfrac{1}{6}}-1\right)=

=-\dfrac{2\sqrt{5} }{3} \cdot \left(\dfrac{1}{3}}-1\right)=-\dfrac{2\sqrt{5} }{3} \cdot \left(-\dfrac{2}{3}}\right)=\boxed{\dfrac{4\sqrt{5} }{9}}

Предыдущий вопрос
Следующий вопрос
Новые вопросы
Русский язык, 1 год назад
помогите разделить слова на однозначные и многозначные: география, книга, полотенце, стол, ключ, крошка, ручка, мягкий, минута, солнце.
Русский язык, 1 год назад
письмо лейбл конверт одним словом...
Математика, 6 лет назад
Срочно нужна помощь с полным решением...
Химия, 6 лет назад
Какое количество 10% раствора соли надо добавить к 200 г. 40% раствора, чтобы получить 25% раствор? ​
Алгебра, 8 лет назад
Найдите значение выражения: 1) (1-b²)(1+b²+b⁴), если b = -2 2) 2x³ + 7 - (x+1)(x² - x+1), если x = -1...
Музыка, 8 лет назад
Подобрать музыкальные произведения созвучные картинам. Обосновать свой выбор.