Алгебра, вопрос задал natalyabryukhova , 11 месяцев назад

Помогите решить неравенство

Приложения:

Ответы на вопрос

Ответил NNNLLL54

Ответ:

Решить неравенство .

$\bf -1 < sin\Big(4x-\dfrac{9\pi }{4}\Big)\leq \dfrac{1}{2}$

Если заменить аргумент на новую переменную t , то получим

$\bf t=4x-\dfrac{9\pi }{4}\ \ ,\ \ \ -1 < sin\, t\leq \dfrac{1}{2}\ \ \ \ (*)$

Неравенство (*) равносильно системе неравенств

$\left\{\begin{array}{l}\bf sin\, t > -1\ ,\\\bf sin\, t\leq \dfrac{1}{2}\ .\end{array}\right$

а) Решаем неравенство $\bf sin\, t > -1$ .

Так как $\bf -1\leq sin\, t\leq 1$ для любых действительных значений t , то неравенство sin t > -1 верно при $\bf t\ne -\dfrac{\pi }{2}+\pi k\ ,\ k\in Z$ .

б) Решаем неравенство $\bf sin\, t \leq \dfrac{1}{2}$ ⇒

$\bf \dfrac{5\pi }{6}+2\pi n\leq \ t\ \leq \dfrac{11\pi }{6}+2\pi n\ ,\ n\in Z$ .

в) Теперь найдём пересечение множеств из пунктов а) и б) .

Учтём, что нужно из промежутка пункта б) выколоть точку $\bf t=\dfrac{3\pi }{2}$

Тогда надо решить два неравенства .

$\bf \dfrac{5\pi }{6}+2\pi n\leq \, t\, < \dfrac{3\pi }{2}+2\pi n\ ,\ n\in Z\ \ \ (**)$ и

$\bf \dfrac{3\pi }{2}+2\pi n < \, t\, \leq \dfrac{11\pi }{6}+2\pi n\ ,\ n\in Z\ \ \ (***)$ .

Решаем неравенство $\bf (**)$ , заменив переменную t на выражение , записанное через х .

$\bf \dfrac{5\pi }{6}+2\pi n\leq \ 4x-\dfrac{9\pi }{4} < \dfrac{3\pi }{2}+2\pi n\ ,\ n\in Z$

$\bf \dfrac{9\pi }{4}+\dfrac{5\pi }{6}+2\pi n\leq \ 4x\ < \dfrac{9\pi }{4}+\dfrac{3\pi }{2}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\\\dfrac{37\pi }{12}+2\pi n\leq \ 4x\ < \dfrac{15\pi }{4}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\\\dfrac{37\pi }{48}+\dfrac{\pi n}{2}\leq \ x\ < \dfrac{15\pi }{16}+\dfrac{\pi n}{2}\ ,\ n\in Z\\\\\\x\in \Big[\ \dfrac{37\pi }{48}+\dfrac{\pi n}{2} \ ;\ \dfrac{15\pi }{16}+\dfrac{\pi n}{2}\ \Big)\ ,\ n\in Z$

Теперь решаем неравенство $\bf (***)$ .

$\bf \bf \dfrac{3\pi }{2}+2\pi n < \ 4x-\dfrac{9\pi }{4}\leq \dfrac{11\pi }{6}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\\\dfrac{9\pi }{4}+\dfrac{3\pi }{2}+2\pi n < \ 4x\ \leq \dfrac{9\pi }{4}+\dfrac{11\pi }{6}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\\\dfrac{15\pi }{4}+2\pi n < \ 4x\ \leq \dfrac{49\pi }{12}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\\\dfrac{15\pi }{16}+\dfrac{\pi n}{2} < \ x\ \leq \dfrac{49\pi }{48}+\dfrac{\pi n}{2}\ ,\ n\in Z\\\\\\x\in \Big(\ \dfrac{15\pi }{16}+\dfrac{\pi n}{2} \ ;\ \dfrac{49\pi }{48}+\dfrac{\pi n}{2}\ \Big],\ n\in Z$

Объединив множества, получим ответ:

$\bf x\in \Big[\ \dfrac{37\pi }{48}+\dfrac{\pi n}{2} \ ;\ \dfrac{15\pi }{16}+\dfrac{\pi n}{2}\ \Big)\cup\Big(\ \dfrac{15\pi }{16}+\dfrac{\pi n}{2} \ ;\ \dfrac{49\pi }{48}+\dfrac{\pi n}{2}\ \Big]\ ,\ n\in Z$ .

Приложения:

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Новые вопросы

История, 11 месяцев назад

СРОЧНО ДАЮ 100 БАЛОВ!!!! 23. Установіть відповідність: 1 сервітут 2 бровар 3 кредит 4 меморандум а пивовар ...

История, 11 месяцев назад

Зробити повідомлення на тему "Культурні досягнення Індії"...

Математика, 11 месяцев назад

25 кг 567г – 4 кг 735г.

Математика, 11 месяцев назад

Помогите с задачей, и как сделать условие к этой задаче. Задача №1639...

Математика, 6 лет назад

Помогите пожалуйста решить вообще не могу никак расстояние между городами 192 км сколько времени потребовалось автомобиль на проезд туда и обратно если скорость автомобиля прямом направлении было 64...

Русский язык, 6 лет назад

Помогите пожалуйста дам 100 баллов ...