Алгебра, вопрос задал 2134sdf , 7 лет назад

Помогите решить логарифмы(с подробным решением пожалуйста). Даю 15 баллов.

$frac{1}{2} log_{3}(-x-16)-log_{3}( sqrt{-x} -4)=1$

Ответы на вопрос

Ответил Хуqожнuк

Сначала рассмотрю ОДЗ:

-x - 16 > 0,

√(-x) - 4 > 0,

-x > 0.

x < -16

x < 0

ОДЗ: x < -16

Правила для логарифмов, используемые в решении:

$nlog_ab = log_ab^n\log_ab-log_ac=log_afrac{b}{c}$

__________________________________

$frac{1}{2} log_3(-x-16)-log_3(sqrt{-x}-4 ) =1\\ log_3sqrt{-x-16} -log_3(sqrt{-x}-4 ) =1 \\ log_3 frac{sqrt{-x-16}}{sqrt{-x}-4}=log_33\\frac{sqrt{-x-16}}{sqrt{-x}-4} = 3$

Сделаем замену √(-x) = t, тогда -x= t²:

$frac{sqrt{t^2-16}}{t-4} = 3\\ frac{sqrt{t-4}sqrt{t+4} }{t-4} = 3\\ sqrt{frac{t+4}{t-4} } =3$

Возведём обе части в квадрат, при таком решении могут возникнуть посторонние корни, их нужно отсеять с помощью ОДЗ (t+4)/(t-4) > 0 или с помощью проверки:

$frac{t+4}{t-4}=9\\ frac{t+4-9t+36}{t-4}=0\\ frac{40-8t}{t-4}=0\\t=5$