Помогите пожалуйста решить, помогите пожалуйста.

Ответ: у=  -2xe⁻⁴ˣ  -6xe⁻⁴ˣ +x² -2x + 5

Пошаговое объяснение: y'' + 8y' + 16y = 16·x2-16·x+66

это - дифференциальное линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = e^(rx).

Cоставим характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения:

k² +8k+ 16 = 0

D=64-4·1·16=0

Корни характеристического уравнения:

Корень характеристического уравнения k = -4,

кратность корня равна 2.

поэтому, фундаментальная система решений состоит из  функций:

y₁ = e⁻⁴ˣ

y₂ = xe⁻⁴ˣ

Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:

y*=C₁e⁻⁴ˣ +C₂xe⁻⁴ˣ

правая часть имеет вид:  f(x)=16x²-16x+66 ⇒  частное решение имеет вид:  y₀ = Ax² + Bx + C

Вычисляем производные:

y' = 2·A·x+B

y'' = 2·A

подставляем в дифференциальное уравнение:

y'' + 8y' + 16y = 2·A + 8·2·A·x+B + 16(Ax² + Bx + C) = 16·x²-16·x+66

16·A·x²+16·A·x+2·A+16·B·x+8·B+16·C = 16·x²-16·x+66

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений:

x²:    16A = 16

x:     16A + 16B = -16

1:     2A + 8B + 16C = 66

⇒  A = 1;  B = -2;  C = 5

Частное решение имеет вид:

y₀=x² -2x + 5

Значит общее решение дифференциального уравнения:

у=у*+y₀ =  C₁xe⁻⁴ˣ +C₂xe⁻⁴ˣ +x² -2x + 5

Подставим начальные условия в общее решение: y(0)=3, y'(0)=0  ⇒

у=у*+y₀ =  C₁e⁻⁴ˣ +C₂xe⁻⁴ˣ +x² -2x + 5

y(0)=C₁ e⁰+ 0  + 5= C₁ + 5 ⇒ так как y(0)=3, то C₁ + 5 =3 ⇒ C₁ = - 2

y'=(C₁e⁻⁴ˣ +C₂xe⁻⁴ˣ +x² -2x + 5)'= -4· C₁e⁻⁴ˣ +C₂(e⁻⁴ˣ - 4xe⁻⁴ˣ) +2x -2

y'(0)=-4C₁ + C₂(1 - 0) - 2 = -4C₁ +C₂ -2  

Так как y'(0)=0  , то

- 4C₁ +C₂ -2 =0 ⇒ -4·(-2)+C₂ -2 =0  ⇒ C₂ =-6

Значит частное решение дифференциального уравнения:

у=  -2xe⁻⁴ˣ  -6xe⁻⁴ˣ +x² -2x + 5